49 DRITTER ABSCHNITT. 8 36.
Bei Betrachtung der unvollständigen Gleichungen des 5 28 waren die Coöfficienten alle constant, wodurch
alle Verhältnisse äusserst vereinfacht wurden ; desshalb konnte dort die allgemeine Untersuchung fortgesetzt werden.
Indess giebt es hier doch einen Fall, bei welchem die Coöffieienten der obigen Gleichungen constant werden,
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es tritt dies nämlich ein, wenn die gegebenen äusseren electromotorischen Kräfte FH, F, E, E, 88 3, 4, 5, constant
sind ; dann lassen sieh diese Gleichungen sofort lösen und auch die weitere Untersuchung erleichtert sich ungemein.
(Vergl. die $$ 75—77.)
$ 36. Integration der Differenzengleichungen der dritten und der höheren Annäherungen.
Wir setzen voraus, dass die vollständige Lösung der in der zweiten Annäherung aufgestellten Glei-
chungen, $ 35, bekannt ist.
Es lassen sich dann die Gleichungen der höheren Annäherungen ohne Schwierigkeit integriren.
Bei der dritten Annäherung treten nämlich zu den rechten Seiten der Differenzengleichungen, $ 34,
die Functionen:
Su), Spolt), Tot); S(t), I),
und zwar deren niedrigste Glieder ; dieselben sind Funetionen höherer Ordnung von J1 Jo 9, bezüglich 7, p.
Setzt man an deren Stelle diejenigen Werthe dieser Variablen, die aus den Lösungen der zweiten
Annäherung erfolgen, $ 35, und behält nur die niedrigsten Glieder bei, so erhält man die Funetionen
5,» S29,(0); T 70, ; S,(), T,®,;
welche die Glieder dritten Grades enthalten und wie bemerkt, als bekannt vorausgesetzt werden.
Man sieht, dass die typische Form der Differenzengleichungen in der dritten Annäherung. die fol-
gende ist:
Im I. und III. System: yrLTy"A4 Toy" +Tsy+Ty=T+T',
Im II. System: 2"+T2'+Tg+I12=1-+T",
wobei T! die erwähnten bekannten Functionen der Zeit bedeuten.
Die Integration dieser Gleichungen geschieht am einfachsten nach der Methode der Variation der
Parameter, wie dieselbe im vorigen $ angewendet wurde, auch können die dort gegebenen Formeln ohne
Weiteres benützt werden, jedoch mit dem Unterschiede, dass an Stelle der dort vorhandenen Grössen T',
hier die Summen 7'+7" treten. -
Demnach werden die vollständigen Integrale der dritten Annäherung sich von denjenigen der zwei-
ten Annäherung nur durch folgende, den Letzteren hinzuzufügenden Glieder unterscheiden :
Im I. und III. System: Im II. System:
>| ji 1: Zrdt4de.); >| [Tr Fu+4)
Die Fortsetzung dieses Verfahrens zur Integration der Annäherungen von noch höherem Grade ist
klar ersichtlich.
Aber es ist nichtüberflüssig zu bemerken, dass man die Genauigkeit, welehe diese Annäherung bietet,
nur in aussergewöhnlichen Fällen, zur Erreichung specieller Zwecke benöthigen wird und dass bei der Be-
handlung solcher Fälle stets eine gewisse Anzahl vereinfachender Verhältnisse vorhanden ist, deren Ein-
führung die algebraische Berechnung der höheren Annäherungen in ganz bedeutendem Maasse erleichtert.
