и -f- A s u 5 
5o CHÁP. I. CALCUL DIRECT 
Ceci n’a besoin d’explication que par rapport a la formule (III). Pour 
lui donner toute l’extension dont elle est susceptible, supposons que h 
et h désignent les accroissemens de x et de y; que la valeur repré 
sentée par u O;0 réponde à x = a, y=zb• et pour distinguer les nouvelles 
variables x etjr, des indices qui, dans la formule comme dans le ta 
bleau, commencent par oet croissent de l’unité, dénotons maintenant 
ceux-ci par m et n : il viendra 
x := a -f- mh, y == h -f- nk, 
d’où 
Enfin, pour abréger, posons x — a = h\ y — h = k\ et mettons sim 
plement u au lieu de u 0j0 , la formule (III) sera transformée en 
и -f- 
w_ 
'h 
& s u -f- 
h'(h'—ît) 
h, ah 
4- 
h'(h'—h)(h'-~aK) 
/г. s/г, З/г 
3 
A x u •+■ etc. 
-, VjK-k) 
** h.2k 
»4-1 
Ax,y U •+• 
* 
J\yll "-f“ 
ï. HW— h ) 
k h. ah 
kXk'—k) ¥ 
k.ak h 
li'jV—k) (k'—ak) 
к.ак.Ък 
A Х:У M-|- etc. 
ï+3 
A x ., y u-\~ etc, 
3 
А у м -f- etc» 
-J- etc. 
A" 
Toutes les fois que les nombres -r , 7-, tomberont dans la suite natti 
relie o, 1, 2, 3,..,. celte formule reproduira les valeurs de it x y dom* 
nées pour des indices entiers ; elle conviendra par conséquent aux indices 
fractionnaires, sous les mêmes restrictions que celle du n° 89g. 
On étendrait les considérations précédentes aux fonctions qui dépendent 
de trois ou d’un plus grand nombre de variables, mais avec une compli 
cation dans les signes, à laquelle on échapperait en partie, par le moyen 
de T analogie des puissances avec les différences ; Uesl pourquoi nous ne 
pousserons pas maintenant plus loin ce sujet. 
91g. Nous nous bornerons a former les expressions des différences 
totales d’une fonction d’un nombre quelconque de variables, au moyen 
de ses différences partielles. Par les premières, on entend celles qui ré 
sultent du changement simultané de toutes les variables. Une fonction и 
de x y y, si l’on n’y fait d’abord varier que x, se changera en