§11. Inhalt des Dreiecks P 1 P 2 P 3 . 
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vielfach begegnen werden und die namentlich auch für das 
Gedächtnis eine Erleichterung bietet. Man bemerkt nämlich, 
daß die beiden Summanden x 2 y 3 — x 3 y 2 und 
iig- 11. 
Z 
x z y 1 — x v y 3 dadurch aus dem ersten Summanden 
x 1 y 2 — x 2 y l hervorgehen, daß man die Indices 
1, 2, 3 durch 2, 3, 1 und 3, 1, 2 ersetzt. Die 'M j 
nebenstehende Figur rechtfertigt die Bezeichnung 
„cyklische Vertauschung“ der Indices. " * 
Aufg. 1. Man leite die Formel für J dadurch ab, daß 
man durch P 3 ein neues Achsensystem parallel und gleich 
gerichtet mit dem alten einführt und dann auf die neuen 
Koordinaten x t ' — x t — x 3 , y t ' — y L — y 3 und x 2 — x 2 — x 3 , 
Vz =2/2 — 2/3 von und P 2 die Formel J=j {x^y 2 — x 2 y{) 
anwendet. 
Anfg. 2. Man lege durch einen beliebigen Punkt 0’ mit 
den Koordinaten a, 5 ein neues Achsensystem parallel und 
gleichgerichtet mit dem alten und beweise, daß in dem neuen 
Systeme die Formel für J genau denselben Flächeninhalt er 
gibt wie in dem alten, daß sie also von dem Koordinaten 
systeme unabhängig ist. 
Aufg. 3. Man bestimme den Inhalt des Dreiecks (3, 1); 
(4, — 2)*, (— 1, — 2) und diskutiere das Vorzeichen. 
Aufg. 4. Man überzeuge sich, daß die Dreiecke P 2 P 3 P X 
und P 3 P 1 P 2 dasselbe Vorzeichen haben wie P 1 P 2 P 3 , daß 
dagegen den Dreiecken P X P 3 P 2 , P 2 P 1 P 3 , P 3 P 2 P t das ent 
gegengesetzte Zeichen zukommt. 
Aufg. 5. Welche Bedingung muß zwischen den Koordi 
naten der drei Punkte P 1? P 2 , P 3 stattiinden, damit diese in 
einer Geraden liegen? 
Aufg. 6. Liegen die Punkte (1, — 2); (— 3, 2); (4, — 1) 
in einer Geraden? 
Aufg. 7. Zeige, daß der Inhalt des Dreiecks, das der 
Punkt (x, y) mit den Punkten (a, 0) und (0, 5) bildet, durch 
dargestellt wird. Was würde aus dem 
Verschwinden des Klammerausdrucks folgen?