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Capitolo terso 
in tale punto la serie di Fourier è sommabile (G, r), per 
r > 1 ( 4 ) ». 
« La sommabilità (C, r) della serie di Fourier della f(x), 
in un dato punto x, dipende unicamente dal comportamento 
della f(x) nell’ intorno di tale punto, se è r > 0. Ciò non è più 
vero, in generale, se è r < 0 ». 
« La condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie 
di Fourier della f(x) sia, in un dato punto x, sommabile (G, r) 
per qualche valore di r, ed abbia per somma sun valore <D, 
è che esista un numero intero k tale che, posto 
<H») = f( x -+-*) + f{ x — z ) — 20, 
Z 
z 
0 
0 
z 
0 
si abbia § h (z)—~§, per 0—0 ». 
« Se la f(x) è limitata in un intorno del punto x, la serie 
di Fourier della f(x), nel punto x, o è sommabile (C, r) per 
ogni r > 0, oppure non è mai sommabile. La condizione ne 
cessaria e sufficiente per la sommabilità è, in questo caso, 
che esista finito il limite 
h 
—h 
Le ultime due proposizioni sono dovute a Gr. H. Hardy e 
J. E. Littlewood. 
c) È stata anche studiata l’applicazione del metodo di 
sommazione di Cesàro alle serie di Fourier generalizzate, cioè 
relative alle funzioni integrabili nel senso di Denjoy ( 2 ). 
P) Questo risultato, dovuto a W. H. Young, per r > 1, era già stato 
stabilito da Lebesgue [Becherches etc., (loc. cit. in (*) a p. 170), p. 278] 
per r — 2. 
( 2 ) P. IÌalli, Sulle serie di Fourier delle funsioni non assolutamente 
integrabili (itend. Ciré. Mat., Palermo, t. XL (1915), pp. 33-37). J. Pri- 
valoff, Sur la dérivation des séries de Fourier (ibidem, t. XLI (1918), 
pp. 202-206).