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6. 
159. 
  
l, Fig. 159. 
den Halb- 
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fortrollt. 
Bezug auf 
AY: 
COS Ü) 
Y) Yy 
rmale in ?. 
2 PN 
vkloide 
N, 
Analytische Geometrie der Ebene. 
6. Bogen PB=2 Y2r(2r — y) 
Bogen der halben Kykloide. Ab=4r 
? e et 
7. Fläcke AFP’ = i (6« Ssin « sin? «) 
no = Be: 
Halbe Kykloiden-F lache ABB = Zu 
Fläche zwischen Kykloiden-Bogen AP, Kreisbogen PN, Abszissen-Axe AN =r.r. 
8. Konstruktion der Kykloide. AN = Bogen NP; von P, aus || Aw; ae 
9, Die verlängerte oder verkürzte Kykloide entsteht, wenn der erzeugende 
Punkt ausserhalb oder innerhalb des rollenden Kreises im Abstande » von dessen 
Mittelpunkt liegt. Ihre Gleiche. ist: 
= riO psin a;y=r—p co8S« 
#. Epikykloide und Hypokykloide; Fig. 161, 162. 
1. Rollt der Kreis mit dem Radius r auf der Peripherie eines andern Kreises 
mit dem Radius R, so beschreibt ein Punkt auf dem Umfange des erstern eine 
Epikykloide oder Hypokykloide, je nachdem derselbe den Kreis äusserlich oder 
innerlich berührt. 
3, Gleichung. 
   
   
Fig. 161. z=(R-r) cos | n «| 
-r cos| R = r «) 
ı 
y=(REr an (7 «) 
ı 
   
  
  
  
PR 
h r sin ( a 5 & 
N Se, 
+ NN Das obere Zeichen gilt für 
m - DR 3 die Epikykloide, das untere 
4 i | für die Hypokykloide. In 
beiden Fällen ist r « Ro. 
Sind die Radien beider Kreise einander gleich, so entsteht als Epikykloide 
ei R a 
die Kardioide. Ist r SO wird die Hypokykloide eine gerade Linie, welche mit 
der X-Axe zusammen fällt. 
3. Die Normale seht immer durch den Berührungspunkt des erzeugenden und 
des Grundkreises für die betr. Lage, also PN Normale, PS Tangente. 
ei i Ar(R-Er). 
{. Krümmungs -Radius. p=—, sin — & 
R2r 2 
i a os 3 R Fr 
Kür A ist d, =0; für D ist p,, Lr 
, 7 R- ZT 
5. Die Evolute ist eine ähnliche Epi- oder Hypokykloide 
6. Rektifikation. Der Bogen, welcher dem Winkel « entspricht, ist: 
R-tr 1 R-r 
s tr 1 — cos «e)\:; Bogen AB =4r 
R | 2 R 
7. Konstruktion. Man theile den Bogen 3 3, = 180° und den Bogen AB, 
180° in dieselbe Anzahl eleicher Theile. Sind N und P, korrespondirende 
ı 
Theilpunkte, so ziehe man durch N einen Radius von 0, durch Pı einen Kreis- 
bogen aus O0 und mache pP =pıPı, so ist P ein Punkt der Kurve. 
Zur Konstruktion des Krümmungs-Mittelp. verlängere man den durch den 
Kurvenpunkt gezogenen Radius des erzeugenden Kreises bis zum gegenseitigen 
Schnitt Q mit diesem Kreise, ziehe -eine Gerade durch O und @. Der Schnitt- 
punkt M der Normalen PN mit dieser Geraden ist der Krümmungs-Mittelp. zu P,