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ernung der 
eine Kette 
sprechende 
nkel ı 1 und 
Analvtische Geometrie der Ebene. 
, Traktorien. 
Traktorien besitzen die Eigenschaft, dass für jeden Punkt derselben die 
Tansente, gerechnet vom Berührungspunkt bis zum Durchschnitt mit einer gegebenen 
Kurve (Direktrix). eine konstante Grösse a ist. Die Gleichg. der Traktorie wird 
bestimmt aus dem System von Gleichng.: 
) En dy (€ ); J(E 
(y Y / N | el) „= 2 (E—r2), F(5,n7)> 9 
N { " \dy ; / d& . 
worin &,n die Koordinaten der Direktrix bezeichnen. 
\m bekanntesten ist die Traktorie von Huyghens, für welche die Direktrix 
eine Gerade ist. Die Gleichg. derselben ist, Fig. 164: 
dy Yy - (a — Va? —y? 
4 SD Se Que -aln | Y 
da Va? - y? \ Y 
Die Evolute dieser Kurve ist eine Kettenlinie, die Beziehung zwischen den 
Konstanten der Evolute und der Evolvente ist: m= «a. 
Spiralen. 
Beweet sich ein Punkt ? auf einem Radiusvektor r während dieser gleichzeitig 
ıım einen festen Punkt O rotirt, so ist der Weg des Punktes P eine Spirale. Die 
bekannteren Spiralen sind: 
1. Die Archimedische Spirale, Fig. 165. Der 
Weg von P anf dem Radiusvektor ist proportional dem 
Drehungswinkel. 
Fig. 165. 
Polar-Gleiche. r = «ad. Polar-Subtangente © ] 
R da 
Polar-Subnormale ON = a 
Der Fusspunkt der Polarnormalen liegt also auf einem 
Kreise vom Radius «a. 
9. Die hyperbolische Spirale. Fig. 166. Der 
Wee des Punktes auf dem Radiusvektor ist umgekehrt 
proportional dem Drehungsbogen. 
Polar-Gleichg. r = a 
h 
  
; ; a 3 i ’ a cos db 
Gleichg. für Normal-Koordinaten. #=r c08 d = —; 
db 
  
    
si h 
7 y=rsin d= A 2 
! 
o 
Der Punkt © ist 
ein asympto- 
FL tischer Punkt, 
—7 um welchen die 
Kurve unendlich 
viele Windungen 
macht. ohne ihn 
im Endlichen zu erreichen. Die zur X-Achse parallele Gerade in der Entfernung 
y= a ist eine Asymptote der Kurve. 
  
Die Polar-Subtangente ist konstant a, Polar-Subnormale 2 
( 
[,eot man um © eine Schaar konzentrischer Kreise und trägt auf denselben 
von OX aus gleiche Bogenlängen a ab. so ist der Ort der so bestimmten Kreise 
ine hyperbolische Spirale. 
3. Die logarithmische Spirale, Fig. 167. Die Radien-Vektoren wachsen 
in eeometrischer, die Bösen in arithmetischer Proportion. 
ıı y 
Polar-Gleiche. r = e"", für!)=0 st r=1. 
Der Punkt © ist ein asymptotischer Punkt der Kurve. Der Winkel o der 
langente mit dem Radiusvektor ist konstant: cotg a = 4. 
Polar-Subnormale OA ra: Polar-Normale PN =rYyl-+ao? 
r 
sin o