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Gleichung der Wellenbewegung. 
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Die Masse m des einzelnen Punktes können wir durch die Masse a der 
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or Längeneinheit der Punktreihe ausdrücken, welche wir die Dichtigkeit der Punkt- 
nkte reihe nennen wollen. Da nämlich dx der Abstand zweier auf einander folgenden 
die- Punkte ist, so ist -, - die Anzahl der auf der Längeneinheit liegenden Punkte, 
. der £ a 
818 . : 
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des da 
nen s s e d’y i De 
nach Hiernach wird: 2 = _: d. h. die bewegende Kraft ist für jeden Punkt der 
7 oc dx? Ä e 
er in .schwingender Bewegung befindlichen Reihe = dem 2. Differential-Quotienten 
auf- der Verschiebung y nach x, multiplizirt mit dem Quotienten aus der Elastizität der 
lic] Punktreihe und der Dichtigkeit derselben. 
Ye Der Abstand y eines Punktes ist, da derselbe in Bewegung ist, gleichzeitig 
I eine Funktion der Zeit, die Beschleunigung, welche der Punkt zu einer gegebenen 
Fr Zeit t bekommt, ist demnach gleichzeitig durch den 2. Differential-Quotienten von 
ar y nach t gegeben, so dass wir die Difierential-Gleichg. der Bewegung des Punktes 
kten d?y e d2y 
der erhalten: = : 
eine de DRAN 
yh: Wir haben bisher longitudinale Schwingungen voraus gesetzt. Ohne näher 
cat darauf einzugehen, sei nur bemerkt, dass auch für Schwingungen mit transversalen 
rn Verschiebungen ganz dieselbe Gleichg. gilt; nur ist an Stelle von e eine andere 
en Konstante einzusetzen, welche wir vorkommenden Falls bestimmen werden. Setzen 
elcn- x ] ] 
tät 1.40 1: ary „ey 
itäts- wir: - c?, so wird unsere Gleichg.: =(? = 
chen o di? dx? 
slage In der Theorie der partiellen Differential-Gleichgn. wird bewiesen, dass aus 
ande dieser Gleiche. zwischen den beiden partiellen 2. Differential- Quotienten einer 
Funktion £ und x, sich keine bestimmte Funktion ergiebt, dass vielmehr jede 
Funktion von der Form: y=f|t-+ oder: y= fIt— oder auch die 
eine C 6 
der- Summe zweier solchen Funktionen der gegebenen Differential -Gleichg. entsprechen. 
Ab- Man erkennt das hier sofort; denn bilden wir von einer ganz beliebigen Funktion der 
zuletzt gegebenen Form die in obiger Gleichg. stehenden Differential - Quotienten, 
so ergiebt sich nothwendig unsere Gleichung. 
Lage Die gesuchte, uns y in seiner gleichzeitigen Abhängigkeit von x und £ dar- 
stellende Funktion wird uns aber dadurch bekannt, dass wir diese Funktion für 
= ] 
wird: 
t die E Er 2 i ROH 
R einen bestimmten Werth von x, nämlich für <= 0 kennen. Wir haben nämlich 
angs- a . i i . 1 
ausdrücklich voraus gesetzt, dass der Ausgangspunkt der Bewegung eine schwingende 
: l x F 
ichts- Bewerung von der Form: y=«sin2r -,— besitze. Daraus folgt nothwendig, dass 
einer 1 
ls es die Bewegung unserer Punktreihe dargestellt wird durch die Gleichg.: 
nkt e Ü ; t SR EEE t N 
rn 1); sın en — 1. sın 2r is h 
en OR NE 2 Far) 
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er und man erkennt sofort, dass das eine Glied auf der rechten Seite die Fort- 
pflanzung nach der positiven, das andere diejenige nach der negativen Seite der 
bedeutet; die Fortpflanzung nach der positiven Seite der x giebt das 2. Glied. Es 
» A . r . . . . 
raft: folgt das daraus, dass die Zeit bedeutet, während welcher die Bewegung bis 
zu dem um = von dem Anfangspunkte entfernten Punkte fortpflanzt. Denn für 
ireend einen Punkt, der an der positiven oder negativen Seite um x vom Anfangs- 
\ ; ; ; BRD at X 
elche punkt entfernt ist, wird: y= sin ar . = 
'angs- 2 wel e1 
Ist r die Zeit, während welcher die Bewegung sich zu dem Punkte fort- 
Punkt ; ; Ve 1 7\ IM 
EI, pflanzt, so können wir dieselbe auch darstellen durch: 4 = sin 2m [ — — ). 
ir die \ 2 7 1:7