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Zusammensetzung mehrerer etc. sich fortpflanzender Bewegungen. S6l
Um x, durch x auszudrücken, ist zu beachten, dass für alle Punkte zwischen
MH und N, x + x, gleich dem Abstande d der beiden Punkte ist. somit: n=d—n.
Darnach wird i en
Jarnach wird: y= «sin dr ( — 4
% Y \ 1 p\ I 2%
und diese Gleichg. lässt durch das Vorzeichen von x erkennen, dass die vom
Punkte N ausgehende Bewegung sich nach der entgegen gesetzten Seite fortpflanzt,
wie die von M ausgehende. Setzen wir nach dem Prinzip der Koexistenz der
kleinsten Bewegungen: y=yı +, so ergiebt die Ausrechnung unter Benutzung
der Formel: sin a-+sindb=2 sin ’/; (a + b) cos (a—b):
y=2acosr Fr sin 2r| nal
z ö i EL: DA:
In diesem Ausdrucke für y sind £ und x nicht mehr in der frühern Weise mit
einander verbunden; der von ‘der Zeit abhängige Faktor auf der rechten Seite hat
vielmehr für alle Werthe von x, also für alle Punkte zwischen M und N, den gleichen
mit der Zeit sich ändernden Werth; er erhält gleichzeitiv für alle Punkte den
Werth 0 oder + 1 oder — 1. Es folgt somit, dass alle Punkte gleichzeitig. die
Gleichgewichtslage passiren, gleichzeitie an das äusserste Ende, der Bahn gelangen.
Die neben einander liegenden Punkte der Reihe nehmen also nicht mehr nach und
nach den gleichen Bewegungszustand, die gleiche Phase an, wie bei der sich fort-
pflanzenden Bewegung, sie befinden sich alle in der gleichen Phase, die Bewegung
ist eine stehende geworden.
Der von x abhängige Faktor zeigt, dass die Amplitude der Schwingungen je
nach der Lage der Punkte in der Reihe sehr verschieden sein kann. Für alle
Punkte, für welche d— 2x ein ungerades Vielfaches von !/ A ist, hat der cos. den
Werth Null; alle diese Punkte, deren Abstand von einander !/,4 ist, bleiben
somit immer in der Gleichgewichtslage; sie bewegen sich gear nicht. An der einen
Seite eines jeden dieser Punkte hat der Faktor einen positiven, an der andern
einen negativen Werth. Die ruhenden Punkte bilden also die Grenze zwischen
solchen Strecken der Punktreihe, in deren einer die Punkte alle an der einen Seite,
in deren andern die Punkte an der andern Seite der Gleichgewichtslage sich
befinden. Die Punkte jeder zwischen zwei ruhenden Punkten liegenden Strecke
sind also immer in derselben, die Punkte zweier benachbarten Strecken in entgegeı
gesetzter Phase. Die Punkte einer Strecke vollführen gleichzeitig und in gleicher
Phase ihre Schwingungen mit um so kleinerer Amplitude, je näher sie den ruhenden
Punkten liegen. Man nennt deshalb die Bewegung eine stehende, die zwischen
zwei ruhenden Punkten liegende Strecke eine stehende Welle und die ruhenden
Punkte die Knotenpunkte. Die Mitte der stehenden Welle, wo die Amplitude
den grössten Werth hat, bezeichnet man als Schwingungs-Maximum.
Zur vollen Uebersicht wollen wir einen Fall etwas näher betrachten, nämlich
die Bewegung der einzelnen Punkte wenn d=nA ist. Die Gleiche. der Bewegung
Fe ; n/ RE 5 t n | ; 2a. t
wird dann: y=2acosr £ sm 27: — ; Y=2« 008 ar —sn?r —.
2 \7 2 ! 1
Die Geschwindigkeit der einzelnen Punkte erhalten wir durch Differentiation
Bar dy IT 20 t
nach ?, nämlich: = —- — _—_ I0cosrt c08. 27.
dt fl ,L I
en ’ T I ; . =
Ist.£= n T,oder = "On 1) „, Soist: y=0; alle Punkte passiren gleich-
zeitig die Gleichgewichtslage.
er a t 2 I: t
Fürt=n[ ist: cog 2r EG +1; fir =:(2n 1) 5 ISt: cos2r nn 1:
In den um eine halbe Schwingungsdauer von einander entfernten Zeiten passiren
somit die Punkte die Gleichgewichtslage nach entgegen gesetzten Richtungen. Die
Bewegungsrichtung der einzelnen Punkte ergiebt die Betrachtung des Koeffizienten
9 )
B 2 ; rs Au >
cos ar —. So lange x ist der cos. positiv, fire = _ wirder =0. Die auf
4 1
der Strecke »—=0 bis = — liegenden Punkte passiren somit die Gleichgewichtslage
4
a
