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Entstehung der Töne und Klänge. 879 
In ‚welcher Weise der Stab sich dann abtheilt, ergiebt sich wieder aus der 
Untersuchung der Amplituden. Für Z/=7 wird der die Amplituden liefernde 
8 I 
’ 7 
Faktor: 28 cos 2r | 1 ; 
l 
Für ©= 0 wird derselbe somit = 2« 3 » ' : ( 
& Für 2 = —- / wird derselbe somit = O0 
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Der Stab theilt sich in 3 Theile. Je '/, der Stablänge von den Enden her schwinot 
für sich als halbe stehende Welle; der halbe Stab, der mittlere Theil schwingt 
als eine stehende Welle in derjenigen den Enden entgegen gesetzten Phase. 
Ist n=35, so theilt sich der Stab in 4 Theile, bei n=4 in 5 Theile u. s. w. 
Wenn das eine Ende des Stabes ganz fest ist, so tritt an demselben die 
Reflexion mit Umkehr des Vorzeichens der Bewegung, bezw. mit Verlust einer 
halben Wellenlänge ein, während an dem freien Ende die Reflexion ebenso wie 
in dem so eben betrachteten Falle erfolgt. Die von dem freien Ende ausgehende 
Bewegung wird also auch jetzt durch die Gleichg. für y, dargestellt wie vorher. 
Die Gleichg. für y, welche die von dem festen Ende in den Stab zurück kehrende 
Bewegung giebt, muss dagegen mit dem negativen Vorzeichen versehen werden, 
es wird demnach jetzt: 
Yr i ä 27, %\ 5 t l l ı\ 
A a a sin 2r| T ; ) & sin 2 [ a aa © 
\ h \ Ä A 
3 l x t l 
Y=2esn2r ; ” cos IT | f ; |. 
Die Gleichg. zeigt schon unmittelbar, dass das feste Ende des Stabes immer 
in Ruhe ist; denn für <=! ist Y immer =0. Das freie Ende des Stabes muss 
auch jetzt die grösste Amplitude der Bewegung haben; es können daher nur solche 
/ ’ 
> 
L 
z ; ; , = Z : l a 
Schwingungen im Stabe stattfinden, welche für 2—0 den Faktor sin 9x — a] 
2 
f / i 
werden lassen. Das ist nur der Fall, wenn = (2n +1) > also = einem oder 
einem ungeraden Vielfachen von !/; Wellenlänge ist. Die lanesamsten Schwingungen 
; ; : ' OÖ eg 
haben somit die Anzahl: N 5 \ ; 
4l 4l Öö 
Ihre Zahl ist halb so gross, als wenn bei gleicher Länge beide Enden des 
Stabes frei sind. Ausser diesen können in dem Stabe Schwineuneen stattfinden. 
velche die dreifache, fünffache ete. überhaupt die (2n -+ 1)fache Schwineuneszahl 
haben; es können also von den harmonischen Obertönen des tiefsten Tones nur 
die uneeradzahlieen auftreten. 
Sind beide Enden des Stabes fest und wird an ireend einer Stelle des Stabes 
eine Schwingung erregt, so tritt an beiden Enden des Stabes Reflexion mit Umkehr 
der Bewegungs-Richtung ein; eine in der vorhin durcheeführten Weise aneestellt: 
Berechnung der resultirenden Schwineuneen ereiebt, dass bei den lanesamsten 
Schwingungen der Stab als eine stehende Welle schwinet, dass somit die Schwineunes- 
zahl derjenigen des gleichen Stabes ist, welcher an beiden Enden frei ist. 
\usser diesen Schwingungen können ebenfalls alle harmonischen Obertöne also die 
doppelten, 5... n-fachen Schwingungszahlen in dem Stabe vorkommen. 
Als solche longitudinale aus Luft geformte Stäbe sind die Luftsäulen deı 
Orgelpfeifen undaller Blasinstrumente zu betrachten. Für alle gelten daheı 
die gleichen Gesetze der Schwingungen, also der Tonbildung; die offenen Orgel 
pfeifen entsprechen den an beiden Enden freien, die gedeckten Orselpfeifen den 
ın einem Einde festen Stäben. 
\uch für die schwingenden Saiten gelten ganz dieselben Gesetze, es tritt 
zur Berechnung ihrer Schwingungszahlen an Stelle der Elastizität nur die Spannun; 
Saiten; es ist also an Stelle e=ey zu setzen e=p, wenn p die Spannung