Punkt auf der X-Axe betrachtet und ihn, dann in 
   
  
    
    
  
   
   
   
  
   
  
  
  
   
   
    
  
     
   
     
   
  
  
   
   
  
    
   
  
    
    
   
  
  
  
   
  
     
    
  
   
  
   
   
   
   
  
    
  
   
   
   
   
  
       
890 Elektrizität und Magnetismus. 
  
Es bleibt zu erörtern, ob das Potent. und seine 1. Abgeleitete einen endlichen Werth behält 
wenn der Punkt, für welchen das Potent. gebildet ist, sich innerhalb des mit Agens erfüllte 
1 
Raumes befindet. In diesem Falle wird in der Form I dm der Faktor für einen Theil 
e ’ 7 
der das Integral bildenden Summenglieder unendlich gross. Da indessen der Zähler dm unendlich 
klein bleibt, so kann man über die Beschaffenheit dieses Theils des Integrals von vorn herein 
nichts Bestimmtes aussagen; es ist also eine besondere Untersuchung erforderlich. 
Es sei A ein Punkt in dem mit Agens erfüllten Raume. Wir denken denselben als Mittelp. 
iner Kugelfläche mit dem Radius=1, und den Raum in elementare Pyramiden zerlegt, deren 
Spitzen in A liegen. Jede Pyram. schneidet aus der Kugel ein Flächenelem. dm, welches die 
Grösse des körperlichen Winkels an der Spitze der Pyram. misst. Der ganze körperliche Winkel 
um A ist 4 7r. 
in Raumelem. dr kann dargestelit werden als ein element. Theil jener Pyram., weleheı 
     
  
  
durch 2 Kugelfl. mit den Radien » und d» abgeschnitten wird; Dasselbe hat also die Grundfl. r?da 
lie Höhe d» und es ist: dr r?drdw. Die darin enthaltene Menge Agens ist, wenn no desse 
variable Diehtigkeit: dm or?drdo, also nach (4): V [ fordrdw. In dieser Form 
J$ 
verschwinden alle Glieder in der durch das Symbol [ angedeuteten Summirung, für welch 
unendlich klein wird und man sieht ohne weiteres, dass das Potent. für einen Punkt innerhall 
eines mit Agens erfüllten Raumes einen endlichen Werth behält. 
dV d "dm | r_ 
Aus (3) und (4) folet für die Kompon. X: X - | 
0% x € ’ 
Sind x, y, z die Koordin. des Punktes, in welchem das Potent. gebildet wird, &, n, & diejenige 
eines Raumelem. des mit Agens erfüllten Raumes, so ist der Abstand r dieser beiden Punkt 
bestimmt durch die Beziehung: »2 7 C folglich: 
(® © + y—NnT $ 
1 
0 . 
1 = ; Hz \ L/o 7 C & ) } “x & 
5 Sn 
2 —<)? a ae — sonach: X | — dm. (a) 
„3 RE e v3 
Setzt man in diesem Ausdruck für X den vorhin entwickelten Werth für dm, so erhält man: 
X f 0 -drdo. Rückt der Punkt, für welchen das Potent. gebildet wurde, in den 
[394 E 
Agens erfüllten Raum, so bleibt doch & E stets », daher bleibt der Integrationsf: 
stets endlich. 
Analoge Entwickelungen erhält man leicht für die Kraft- 
  
  
  
  
Fig. 330. Kompon. Yund Z. Es er sich sonach, -dass auch die 1. Al 
geleitete von V einen bestimmten endlichen Werth behält, wenı 
der betrachtete Punkt in den mit Agens erfüllten Raum rückt 
Ist das Agens über eine Fläche verbreitet, so führe man die 
folgende Transformation aus: Die Flächendichte sei o, welcheı 
Werth endlich und stetig variabel ist. Man führe durch einen 
Punkt O der belegten Fläche, Fig. 830, eine Normale und 
tangirende Ebene, lege in erstere die X-Axe, in letztere die Y- 
und Z-Axe, in den Fusspunkt O0 der Normalen also den Nullpunkt 
Eine 2. Normale in einem beliebigen andern Punkte der Fläche 
bilde mit der X-Axe einen spitzen Winkel auf irgend einer Seite 
der Fläche. 
Man kann sich jetzt immer ein endlich« Gebiet um deı 
Fusspunkt von x abgegrenzt denken, innerhalb dessen sämmtlich« 
  
    
ee Normalen auf derselben Seite der Fiäche die Linie © spitzwinkli; 
schneiden; innerhalb dies Gebiets wird also cos und 
Ö 
auch endlich und stetige variabel bleiben. Man kann deı 
cos & 
Bequemlichkeit halber dieses Gebiet so abgegrenzt d« 
seine Projektion auf die ZY-Ebene von einem Kreise begrenzt 
wird. Wir nennen dieses Gebiet 7), und den Rest der Fläche 7 
Denken wir uns jetzt die Einheit aus unendlicher Entfernur 
bis in den Punkt O geführt, und bilden das Potent. für 0, 
   
kann man dasselbe in zwei Theile Y, und Vs» zerlegen 
welchen V, von Tı, Va von 75 herrührt. Für den Flächenth« 
% T, ist © ein äusserer Punkt. Der Werth V5 ist also zweifellos endlich: es 
| / also nur noch der Werth V, zu untersuchen, 
ke, / 1 h en m A y j 
Gy Ein Punkt auf der Fläche 7, habe die Koordin. «a,b, « Man führe i 
1 / der YZ-Ebene Polarkoordin. ein, so ist: «a s cos ıb; b s sin ı» und 
| % 11 z [ sdsdih 
|/ Flächenelem. dS erhält den Werth alsdann erhält man durch Sub- 
V COS t 
27T 
j ö E . Ö S 
stitution von dS in Gleiche. (4b v\ | | Isdıb. 
Be cos« r 
0 0 
5 0 ; y 5 { 
Der Werth ist ein endlicher, Für s 0. wird ı 0: man kann aber den Bırucl 
cos& 
{ransformiren, wenn man den Punkt, in welchem das Potent. gebildet wird, zunächst als äus 
  
Fläche hinein rücken lässt, indem ı 
0 macht; dann ist: