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Elastizitäts- Lehre. 567 
.. Spannungs-Ellipse und Hauptspannungen. 
l. Die Seite ZU des unendlich kleinen 3seitigen Prismas ABC Fig. 3582 liege 
in der Querschn.-Fläche, die Seite AU stehe senkrecht zu BC; <BAU= «a. 
Auf die belieb. gegen die Querschn.-Fläche geneigte Fläche AB des Prismas wirke' 
Fig. 382. eine Spannung R. — Wird R in 2 Seitenspannungen X 
und Y zerlegt, welche bezw. der in der 4C wirkenden 
Schubspannung 7’ und der in der 3 C' wirkenden Spannung A 
(der Resultante aus N und 7 daselbst). parallel sind, 
so geben die Gleichgew. - Bedingungen die Beziehung: 
= en 
z Ar . =]. Hieraus folgt der Satz: Wenn man die 
  
auf ein belieb. Flächenelement 45 wirkende 
spezif. Spannung nach Grösse und Richtung durch eine vom fraglichen 
Punkte ausgehende Gerade darstellt, so liegt der Endpunkt dieser 
Geraden auf einer Ellipse, von welcher 2 konjugirte Durchmesser die 
Richtung von 7’ und A haben. Mannennt diese Ellipse die Spannungs- 
Ellipse und die durch ihre Halbaxen dargestellten Spannungen die 
Hauptspannungen (Vergl. 8. 555). 
2. Dasjenige Flächenelement, welches von einer Hauptspannung affizirt wird, 
muss senkrecht zur Richtung desselben stehen. Die Hauptspannungen sind 
also zugleich Normalspannungen. Bezeichnet // allgemein eine Haupt- 
spannung, so ergiebt sich aus den Gleichgew.-Bedingungen: 
HA=ıN-+-YV:N:+T: (28) 
Das obere Vorzeichen giebt stets einen positiven, das untere stets einen negativen 
Werth für H, einerlei ob N positiv oder negativ ist. Die eine Hauptspannung 
ist also der Maximal-Zug, die andere der Maximal-Druck, welcher 
überhaupt das Flächenelement affıziren kann. Die Summe beider ist gleich 
der Normalspannung N des Querschn. 
Die Lage der Spannungs-Ellipse und damit auch die Lage der Fläche, 
in welche der Maximal-Druck und der Maximal-Zug wirken, ist bestimmt “durch 
H IE 
die Gleichg.: tang «, = 7 oder: tang2ı = 2 N 
3. Ein weiterer Zusammenhang zwischen Normal-, Schub- und 
Hauptspannungen ergiebt sich aus der Betrachtung des Gleichgew.-Zustandes 
der Kräfte, die an den Flächen des unendlich kleinen 
Bey 900: Prismas ABC, Fig. 383, wirken. 
A Sind BC und AC die von den Hauptspannungen A und B 
TB (Maximalzug und Maximaldruck) affizirten Flächen, so folgt 
er für eine unter dem belieb. Winkel « geneigte Fläche AB: 
Normalspannung: N = Asin?« + B cos ?e; 
| Schubspannung: T=4 (A — b)sin2e. 
in N % wird zum Maximum für «=0 oder &=90°%; 3 für 
N # —450% oder «a — ls5ı 
N Die Flächen, in welchen die Schubspannung 
a 
R zum Maximum wird, halbiren also die Winkel 
zwischen den Hauptspannungen. 
  
at MERTS TEE h m Ar 4 Br oe rn 2 
en ea N + T2 9 Ma =; N Y+ N? E= T? (29) 
Fig. 384. N und T beziehen sich stets auf die Querschn.- 
Fläche. Ist letztere verhältnissmässig gross, so wird 
T klein und kann vernachlässigt werden. Für diesen 
Fall ist: 
I = N. 
& =ıN; 
Tmax; e I, Ha, 
In Fig. 384 ist der Zusammenhang zwischen A, B, % 
und T und der Resultante R aus NW und T grafisch 
dargestellt. 
x. Deformations-Ellipse und ideale Hauptspannungen. 
Eine unendlich kleine materielle Fläche im Innern eines Stabes geht durch 
die Formänderung in eine Ellipse, die Deformations-Ellipse, über, in deren