542 Mechanik fester Körper. 
Diese Axen nennt man die 3 Hauptaxen für den Punkt O und die Grössen 
4A,5b,C die drei Haupt-Trägheitsmomente. 
Es giebt demnach für jeden beliebigen Punkt O drei einander 
rechtwinklig in diesem Punkte schneidende Axen, für welche als 
Koordin.-Axen die Grössen D, Kund F je für sich = 0 sind. 
Kennt man die Lage der 3 Hauptaxen und berechnet für sie die Grössen der 
3 Haupt-Trägheitsmom. A, B und C, so folgt: J= A cos a + B cos 2 + Ccos ’y 
Wählt man für den Punkt O den Schwerpunkt des Körpers, so nennt man 
das entstehende Ellipsoid der Trägheitsmom. das Zentral-Ellipsoid. 
Ist J, das Trägheitsmom. in Bezug auf eine der Schwerpunkts-Axen eines 
Körpers von der Masse M und J, das Trägheitsmom. desselben Körpers in Bezug 
auf eine zu dieser Schwerpunkts-Axe parallele Axe, ferner ! der senkrechte Ab- 
stand beider Axen, so folgt: 4 =J, + Mi. 
Nach dieser Gleich. kann man, sobald das Zentral-Ellipsoid gegeben ist, für 
jede beliebige Axe im Raume das Trägheitsmom. bestimmen, weil das Trägheitsmom. 
für jede Schwerp.-Axe durch den in diese Axenrichtung fallenden Radiusvektor der 
Zentral-Ellipsoid-Fläche gegeben ist. 
Der grössten Hauptaxe entspricht das kleinste der drei Haupt-Trägheitsmom.., 
welches zugleich das kleinste von allen möglichen Trägheitsmom. ist. 
  
  
Fig. 325. Um für irgend einen Körper die 35 Hauptaxen zu 
ıZ. finden, nimmt man zunächst eine belieb. Lage der OP, Fig. 325 
\. _«P an und ermittelt dann [s. Gl. (1)] aus den Gleich.: 
I y97 3 .2D cose co f= 05/2 cos a cosy=0;2F cosßcosy—=0 
o&r_Xx__Z_X diejenigen Werthe von «a, $ und y, für welche: 
‚? ıY J= A cos?« + B cos?#-- Ccos?y wird. 
y£ Ä Bei symmetrischen Körpern fallen die Hauptaxen 
mit den Symmetrie-Axen zusammen. 
e. Trägheitsmomente verschiedener Körper. 
Die Axe, auf welche das Trägheitsmoment bezogen wurde, ist durch 
den Index am Fuss des J angedeutet. M bedeutet stets die Gesammt- 
masse des betrachteten Körpers. Ist z die Dichtigkeit eines vollkommen 
homogenen Körpers, so ist allgemein: J=!% (mp?) =yJf dx dydzp:. 
1. Materielle Kreislinie, Fig. 326; J) = Mr”. 
  
  
  
  
Fig. 326. Fig. 327 
eh a) „0 
% nn EEE IN Ü | R 7% 
{ w>-2 fi N 8 | 
| u n kob 0% 
\ 0% ) IM a i i 7 | 
\ I | = 5 
a | | Ei 
Ss L | 
f x 
1 97 T 2 
2. Kreisscheibe, Fig. 327, ,=yd,;,R=7—R:. 
ist die auf den Umfang der Scheibe reduzirte Masse. 
R? -- r? 
Re 
8. Ring, Fig. 38, h=yd— (R— r)=M Ist die Breite des 
iinges (R—r) im Vergleich zu R sehr klein (z. B. bei Schwungrädern), so ist 
E [R —r\2 
annähernd „= M | S ; 
4. Materielle gerade Linie, die mit der Drehaxe OX den Winkel « ein- 
schliesst, Fig. 
R Se 1 ; 1 ; 
329; > Masse pro Längeneinheit. Az = — rl? sin ’« = — M(Isin «)?. 
€ a 
eo 
Füre=0 wird: A=-y?=-M!l. Die auf den Endpunkt 5 reduzirte 
> 
       
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
     
   
  
  
  
    
      
    
  
     
   
    
   
  
  
    
   
   
    
       
Masse 
Winkel 
so ist: 
  
Fig. : 
L 
oT 
De 
10. 
Fig