12 Gemeinsame Grundlagen.
folgt durch Addition
+ E
+l)-,= Be + r
(m +1)-,=m le
Mm 4 €
mit m |;
m-|]1l s;
Ersetzt man HE durch 2 —. -:G, so erhält man
Mm ?
= 26 fe; Tr a: ea) und = 2Qle, = u =
\ m— 1} m—1
als Hauptspannungen in den Richtungen x und y. Unter Beachtung der Gleichung
S. 71 oben sind die Dehnungen z zu ersetzen durch &e — a (£ — t,), so daß sich als
Hauptspannungen ergeben, wenn der einfacheren Schreibweise wegen die Temperatur-
erhöhung i — t, mit i# und die Wärmeausdehnungsziffer mit & bezeichnet wird:
,=2G (e = a) at m. er = 2 2 | :
(ı =) +(a& a)
oo 24 |(e, a ) ee
m—|1
Nach einigen Umformungen erhält man
© +8 m-|]1l
= 26 e 4 un : _— 1 & ) i
Mm — Mm —
Be m-+1
= 2a (r, an xt)
m—l mi
Beide Gleichungen enthalten vier Unbekannte o,, o,, &, und &,; es sind also noch zwei
Bedingungsgleichungen erforderlich, die sich aus den Gleichgewichtsbedingungen er-
geben.
Wird ein Schnitt senkrecht zur x-Achse gelegt und werden die Spannungen als
äußere Kräfte angebracht, so muß Gleichgewicht herrschen.
Ein Querschnittsteilchen von der Dicke dz überträgt, wenn b die Breite der
Scheibe ist, 0, 5b dz (kg).
Da am abgetrennten Teil weiter keine Kräfte auftreten, verlangt die erste Gleich-
gewichtsbedingung: Summe sämtlicher Kräfte in Richtung X gleich Null,
d d
b-/|0,.dz=0 oder |%.d2=0.
o 0
Ein Schnitt senkrecht zur %y-Achse liefert
d d
b- joy .dz2= 0 oder Iy-d2=0.
o oO
Ersetzt man o, durch den vorher gefundenen Wert und integriert aus, so wird
x fo) ’
d
ee er
& + = ed.
m—|1 m— | d,
Oo
In gleicher Weise wie vorher wird
d
. lid —t„,
0
und
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