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LEÇONS SUR LE PROBLEME DE PFAFF. 
se réduisant, pour x~o, aux rn— p fonctions x p ), ..., 
y m _rX x i> '•••> x p)- Les multiplicités Oftp-i-i représentées par les 
formules 
(io) s l — x lt Xp), ..., z m = <S>Jx, x u x p) 
passent bien par la multiplicité Mp, et, d’après la façon dont on a 
obtenu ces multiplicités DTL/j+i, il est clair que toute intégrale Mp_pi 
du système de Pfaff passant par Mp est comprise dans les multi 
plicités 3Up+i, par un choix convenable des fonctions arbitraires 
V cles /* + 1 arguments x, x v x p . 
Nous allons maintenant démontrer, et c’est là le point le plus 
délicat de la démonstration, que réciproquement, quelles que 
soient les fonctions arbitraires satisfaisant aux 
conditions spécifiées plus haut, la multiplicité Oïlp-fi est une 
intégrale du système S (*). 
P) M. Cartan établit ce point essentiel par un raisonnement intuitif très 
intéressant, que je reproduis presque textuellement (Voir Annales de l’Ecole 
Normale, 3‘ série, t. XVIII, p. aôo). 
« Pour démontrer que les multiplicités OÏLp-f-i satisfont aux équations (I) 
et (II), nous allons démontrer que si une multiplicité OTLp-pi* déterminée comme 
il a été dit, satisfait aux équations (I) et (II) pour une certaine valeur de x, elle 
y satisfait aussi pour la valeur infiniment voisine x -)- §x. 
Si cela est démontré, comme les équations (I) sont vérifiées par la multi 
plicité OÏLp-fi pour x ~ o, puisque Olbp-f-i se réduit alors à M p et que les 
équations (IP) sont supposées vérifiées par la multiplicité £)ÏLp-(-i, et par 
conséquent aussi les équations (II), il en résultera que les équations (I) et (II) 
sont vérifiées pour toute valeur de x. 
Or, supposons que pour une certaine valeur de x les équations (I) et (II) 
soient vérifiées. On a alors, en particulier, pour cette valeur de x, 
il/*) = O, il¿(*) = O, — —_ 0 = O. 
ïx 
7>Xi 
Mais si il/*) est nul, il en est de même de sa dérivée 
wi 0 (*) 
dxi 
prise par 
rapport à la variable xi, indépendante de x. Donc 
Mli(ft) 
Zx 
est nul pour la 
DX1 *(/t) 
valeur considérée de x. Or, dire que üd*) et s’annulent pour la 
ÏX 
valeur x, c’est dire que ilfk) s’annule pour la valeur infiniment voi- 
sine x -f- $x. Il en est de même, pour x-\-àx, de et des quantités 
ûXj 
analogues. Donc, pour x -f- Sx les équations (I) sont vérifiées. Il en est de 
même par hypothèse des équations (IP) et, comme conséquence algébri 
que, des équations (II) qui sont équivalentes à (IP) en tenant compte de (I). 
Donc, pour x -f- Sx, toutes les équations (I) sont vérifiées. »