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Auch kann man bei diesen Reihen x immer so wählen, daß selbst 
das erste Glied derselben größer wird, als die Summe aller übrigen 
Glieder. Macht man nämlich x kleiner als wo, wie 
2 A 
kleiner als die Hälfte des ihm unmittelbar vorhergehenden; daher die 
Summe der Reihe kleiner als die Summe der Reihe a -f ~ a 
II 
-f- — a -j N -j- .... — 2 g. Folglich daun a >> a, x 
4 8 
+ * 2 's a 3 X3 + «4 x * + 
Für die Reihe 1 Z- 4x + 9x 2 -s- 16x 3 wäre dem 
nach x kleiner stlö — ♦ —- = — zu setzen, um 
1 > 4x 4- 9x 2 + 16 x 3 + ....+ (n-j-1) 2 x° -f 
zu machen. 
Summation einiger convergirenden Reihen. 
§. 84, Wir wollen nun auch die Summe einer bestimmten 
Gliederanzahl verschiedener convergenter Reihen aufzufinden suchen, 
und zwar zunächst die Reihe 
2 + —-—- -f 1 -f — ! 4- 
x 1*2 1.2.3 1.2. 3. 4 
betrachten, welche in der Mathematik oft gebraucht wird und man 
durch den Buchstaben e zu bezeichnen übereingekommen ist. — Es 
läßt sich leicht nachweisen, daß diese Zahl 6 eine irrationale sein 
muß. Daß dieselbe keine ganze Zahl ist, ergibt sich aus der Un 
gleichheit 
1 . _J_, 1 i <l_i._L4._L + ... =1 
2 ' 2 ♦ 3 1 2.3.4 ' * * * 2 ~ 2 2 2 3 ^ 
Es liegt mithin e zwischen 2 und 3. Der Werth von e kann 
aber keinem rationalen Bruch —, wo p und n ganze Zahlen sind, 
gleich sein. Denn wäre 
1 
+ 
n 
1.2.3...11 
1.2*3,..ii(n-|-l)