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A. Kneser. II 31. Calcul des variations. M. Lecat.
sans démonstration, que la méthode connue en dynamique sous le
nom de Jacobi-Hamilton [IY 8] est applicable au problème ôJ t = 0.
M. Ostrogradskij 819 ) a montré, pour le cas où la fonction sous le
signe intégral contient les dérivées supérieures d’un nombre quelconque
d’inconnues non soumises à. des conditions accessoires (extrémé libre),
que les équations différentielles peuvent être mises sous la forme
canonique de Hamilton et que leur intégration peut être ramenée à
celle d’une équation aux dérivées partielles non linéaire. L’obten
tion de ce dernier résultat correspond au passage, fait par W. R.
Hamilton, du principe de moindre action à celui de l’action variée,
et à la simplification apportée à cette méthode par G. G. J. Jacobi.
M. Ostrogradskij donne, en outre, pour le problème en question, une
théorie analogue à celle de Jacobi-Poisson (méthode de la variation
des constantes en dynamique) 819 820 ). A. Glebsch 821 ) a étendu la méthode
de Jacobi-Hamilton au problème de Lagrange. G. G. J. Jacobi 822 823 ) avait
exposé cette théorie pour le cas de l’extrémé libre avec n fonctions in
connues (U n ). A. Mayer 82S ) établit aussi le système canonique.
„JLa transformation de Legendre relative aux y, c’est-à-dire l’in
troduction des nouvelles variables q i = f , et de la fonction
ce qui suppose le problème ordinaire (A 0), donne aux équations
des extrémales la forme canonique
dy i dH dq { dH
dx dqi dx dy¡’
valable pour le problème de Lagrange 824 ) et pour celui de Mayer.
J. Hadamard 82 ' 0 ) interprète géométriquement ces équations à l’aide
de la figurative et de la figuratrice [n° 22]. La figurative est, dans le cas
819) Mena. Acad. Pétersb., math. phys. nat. (6) 6 (1850), p. 385/517, en partie,
p. 419/30 [1848].
820) *Voir aussi F. J. Bichélot, C. R. Acad. sc. Paris 49 (1859), p. 643/5;
F. Brioschi, Ann. mat. pura appl. 2 (1859), p. 333/5.*
821) J. reine angew. Math. 55 (1858), p. 260 et suiv. [1857].
822) Yorles. über Dynamik (cours professé à Königsberg en 1842/3), (l re éd.)
réd. par A. Clébsch, Berlin 1866; Werke, Suppl, publ. par F. Lottner, Berlin
1884, p. 143/57. Pour J P et pour un cas un peu plus général, cf. Werke 5,
Berlin 1890, p. 467/82 (mémoire posth. A. Clébsch); voir aussi id. p. 282.
823) J. reine angew. Math. 69 (1868), p. 241.
824) *Yoir O.Bolza [Math. Ann. 63 (1907), p. 251/2; Variationsrechnung u ),
p. 590/3], qui suppose que la solution (y { , l 0 ) des équations différentielles d’Euler-
Lagrange est régulière (terminologie de P. Painlevé).*
825) ^Calcul des variations 6 ) 1, p. 153, 266/8,*
