§ 19. Das Abel’scbe Theorem. 
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ünstetigkeitspunkte die Parameter und die Coordinaten der Grenz 
punkte die Argumente und bezeichnet demgemäss den Satz (VI) als 
den Vertauschungssatz von Parameter und Argument. 
§ 19. Das Abel’sche Theorem 1 ). 
Man erhält weiter eine Reihe wichtiger Relationen, die in ihrer 
Gesammtheit das Abel’sche Theorem vorstellen, indem man, wie 
vorher zwei Abel’sche Integrale, so jetzt ein Abel’sches Integral mit 
einer rationalen Function oder mit dem Logarithmus einer solchen 
Function combinirt. 
Es sei R(x, y) eine beliebige, rationale Function von der Ord 
nung m mit den m oo 1 Punkten (b lf y bl ), ..,(&„, y b J oder kurz b lf .., b m 
und den m 0 1 Punkten (a lf y Ul ), . ., (a m , y a J oder kurz a i: . ., a m , 
die sämmtlick einfache Punkte im Endlichen von T seien. Es ver 
halte sich in 
b t : R wie B t {x — b¡)~ x , also log R wie — log (x -— b¡) 
a t : R „ A¡(x — «¿) +1 , „ log R „ + lo g(x—a t ). 
(0 
Für eine zweite rationale Function R(oc, y) sollen ax, ßx, /Kx, EL 
dieselbe Bedeutung haben wie a lf b t , A [} B L für R(x, y). 
Setzt man in (10) § 18 zuerst F== 1, W = log P, so erhält 
man den Satz, dass für jede rationale Function R(x, y) die Zahl der 
oo 1 Punkte und der 0 1 Punkte dieselbe ist (vgl. § 7 Satz II und § 14 
Satz V); setzt man V = 1, während W ein allgemeines Abel’sches 
Integral bleibt, so erhält man die Gleichung C* = 0, d. h. den 
Satz, dass für jedes Abel’sche Integral die Summe der Coefficienten 
der logarithmischen Glieder verschwindet (vgl. § 14 Satz III). 
Man setze nunmehr 
V = R, also C, = 0, Di = B h AR = 0, N t = 0; 
dann geht (10) § 18 über in 
Diese Gleichung enthält das Abel’sche Theorem für das all 
gemeine Abel’sche Differential dW, wir geben demselben am 
Schluss dieses § eine bestimmte Fassung (Satz VI). 
1) Abel, Oeuvres completes I. S. 145 (1826) und S. 515 (1829). Riemann, 
Ges. W. S. 116 ff. Clebsch-Gordan, Abel’sche Functionen S. 44 u. 127 (1866). 
. ‘V 1 v.:’. 
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