69. Ausgezeichnete Lösungen und Eigenfunktionen.
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Für x = 0 und für x — % der ersten Randbedingung genügt
sin war, wenn n eine ganze Zahl ist.
Für x — 0 und für x — 7t der zweiten Randbedingung genügt
cos nx, wenn n eine ganze Zahl ist.
Für x = 0 der ersten, für x = 7t der zweiten Randbedingung
genügt sin nx, wenn n ein ungerades Vielfaches von ^ ist. 1632 )
Für x — 0 der zweiten, für x — 7t der ersten Randbedingung
genügt cos nx, wenn n ein ungerades Vielfaches von \ ist.
Für x — 0 der ersten, für x — 1 der dritten Randbedingung
genügt sin X n x, wenn X eine Wurzel der determinierenden Gleichung
(683) ist.
Für x = 0 der zweiten, für x = 1 der dritten Randbedingung
genügt cos X n x, wenn X n eine Wurzel derselben Gleichung ist.
Für x — 1 der dritten Randbedingung mit einem Wert 2\ der
Konstanten h, für x = 0 derselben Bedingung, aber mit einem andern
Wert — 2\ der Konstanten genügt der Ausdruck (682), wenn X n
eine Wurzel der Gleichung (680) ist.
Der Periodizitätsbedingung für a = 27t genügt der Ausdruck
A cos nx -f- JB sin nx, wenn n eine ganze Zahl ist, welches auch das
Verhältnis der beiden Konstanten A, JB ist.
Bei andern Aufgaben treten noch kompliziertere Randbedingungen
oder auch „Übergangsbedingungen“ d. h. Bedingungen an einer inne
ren Stelle des Intervalls auf; soweit man dann überhaupt noch mit
trigonometrischen Funktionen zu tun hat, kommen die in Nr. 43
erwähnten determinierenden Gleichungen und Eigenfunktionen in Be
tracht. 1633 )
Eigenfunktionen sind durch ihre Definition im allgemeinen nur bis auf einen
konstanten Faktor bestimmt; es ist bei den trigonometrischen Funktionen nicht
wie bei allgemeineren bequem, diesen Faktor durch die Forderung festzulegen,
daß die Integrale der Quadrate der Eigenfunktionen, genommen über das in
Betracht kommende Intervall, alle den Wert 1 bekommen.
1632) So z. B. bei Navier, Bull, philomat. 1825, p. 180; bei Poisson, Méca
nique 2, p. 321.
1633) Soll z. B. die Gleichung
unter den Übergangsbedingungen
du _dv 1 du 1 dv
dx dx' a? dt a, * dt
für x — h
