§ 10. Die PoissoN’sche und LAGRANGE’sche Formel. 
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also, wenn man total differentiirt: 
16) 
0 
c'a 
dt 
. da dpi 
da 
dp 
dp 
" dpi dt ' dQi dt 
Diese Gleichung verwandelt sich mit Hilfe von 9) in: 
da da dH da dH 
+ 2j 
17) 
0 
dt dpi dp dqi dpi 
eine Gleichung, welche, da sie keine willkürliche Constante enthält, 
identisch sein muss. Sie ist die oben erwähnte partielle Differential 
gleichung. Genügt umgekehrt die Function a der Gleichung 17), so 
erhält man hieraus wieder 16) und 16a), d. h. a ist ein Integral. 
Die Auffindung von 2 n Integralen von 9) fällt also zusam 
men mit der Bestimmung von 2 n particulären Lösungen 
von 14) und somit ist das Problem zurückgeführt auf die 
Betrachtung dieser partiellen Differentialgleichung. Das 
identische Integral a = constant ist dabei nicht einbegriffen. 
Wir wollen jetzt eine die Darstellungsweise sehr erleichternde 
Bezeichnung einführen. Sind f und 9 zwei Functionen der pi und rp 
(welche auch t enthalten können), so setze man: 
18) !*- 
^ dpi dqi dqi dp { 
so dass (f, 9) = — (9 ,f) und (f, f) = 0. 
Die Differentialgleichung 17) nimmt dann die Gestalt an: 
da 
19) 
dt 
+ («, H) = 0, 
und kann man aus ihr das oben erwähnte PoissoN’sche Theorem 
folgendermaassen ableiten: 
Sind f, 9 , üj drei Functionen der pi und q t (welche auch t ent 
halten können), so ergiebt sich: 
(ff, 9) , = ji (mp . li. _ mp .ix), 
dpi dp dp dpi) 
nur ist hier ein anderer Summenindex 1 gewählt worden. Setzt man 
für (f, 9) seinen Werth 18) ein, so ergiebt sich: 
i = ni‘ — n 
«/*),+)=22-=^ 
d 2 f 
i — n i—n 
09 
dqi 
09 
d pi 
0VÜ 
0 q 
0'|) 
dqi 
0 2 9 df 0^ 
dpi 
22 
0 2 9 df 
dqi 
0 vp 
» = 1 i‘ 
[dpidpi dqi dqi