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II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
a = 2 mityilVi — ZiVi), 
b = 'Sm^ZiUi — XiWi), 
also nach 26): 
(ab) = ^ — (0 . Zi -f- 0 . Wi -j- miWi .0 — nriiZi. 0 -J- miVi . x { 
— m,i iji . nii Ui) — 2 n%i (xi Vi — yi Ui) 
das dritte Flächenintegral. 
Hiermit ist der Kreis vollständig geschlossen. Wendet man den 
PoissoN’schen Satz auf sämmtliche früher abgeleitete Integrale an, 
so ergeben geringe Rechnungen, dass man niemals auf neue Integrale 
kommt. 
Die Flächenintegrale, die Schwerpunktssätze und der 
Satz von der lebendigen Kraft bilden also einen für sich 
abgeschlossenen Kreis von Integralen. 
Nach Ableitung des PoissoN’schen Satzes wollen wir uns mit dem 
jenigen von Lagrange beschäftigen. Durch Einsetzung von 14) in 9) 
müssen diese Gleichungen identisch, d. h. für jeden Werth von a i , a 2 , 
. . . d 2 n, t erfüllt sein. Daher kann man die Gleichungen 9) in diesem 
Sinne identisch nach ai differentiiren, wodurch man erhält: 
»Vi dq, 
-0^7gT = -a5r’ oder: 
d 2 p { 
dai . dt 
d 2 qi 
d 2 H dp/ d 2 H dq/ 
+■ 
und ebenso: 
dg/ 
dai . dt f^^JOidp/ dai ^ dp t dq/ dai 
Bezeichnet nun a u eine neue Constante und multiplicirt man die 
f^ i dq i dp/ dai 1 dq { dq/ dai 
d 2 n dp/ ^ d 2 H 
erste Gleichung mit 
dqj 
da. 
die zweite mit 
dpi 
da,, 
und addirt, nach- 
* [a , vwp 
dem über i summirt worden ist, so ergiebt sich: 
i( 
d 2 pi dqi 
d 2 qi 
dai • dt da ^ dai • dt 
22 Ì 02g dpi ' dq * 
da,. / 
d 2 H dq/ dq { 
i= 1 i' = 1 
d 2 H 
dq { dp/ dai da^ dq { dq/ 
dp/ dpt ! d 2 H dq/ \ 
dai dar