§ 12. Das kanonische System von Integrationsconstanten. 107 
eine partielle Differentialgleichung für c mit 04, b x , . . . ¿2«-2 als un 
abhängigen Variablen. Dieselbe hat 2 n — 2 unabhängige Integrale: 
c x , c 2 , . . . C2n — 2 • Weil sie nur Functionen von a 1? & 1? . . . & 2 »—2 sind, 
erfüllen sie auch die Gleichung: 
8) Oi, <0 = 0. 
Die 2 n — 2 Functionen c x , c 2 , ... C2»-2 haben nun die Eigen 
schaft, dass irgend eine Verbindung (cx, c fl ) nur von ihnen selbst ab 
hängt. Sie bilden also nach Lie eine Gruppe. Dies lässt sich leicht 
folgendermaassen beweisen: 
Da 04, ßj, c x , . . . c 2 „-2 2 n Functionen von cp sind, zwischen 
welchen keine identische Relation stattfindet, so kann jede andere 
Function der und <p, also auch (cx, c fl ), durch diese ersteren aus 
gedrückt werden. Weil (cx, c^) aber der Bedingung (ß 1? (cx, c^)) = 0 
genügt, darf es nicht 04 enthalten und weil es der ferneren Bedingung 
(04, (cx, C/n)) genügt, darf es nicht ß x enthalten, (cx, Cm) ist also, wie 
behauptet, nur eine Function der c selbst. 
Unter den c greifen wir wieder eins heraus, etwa c x , und nennen 
es a 2 . Ist dann ß 2 eine Function der c, so stellt die Gleichung: 
9 ) ( a 2> ß2) = ( a 2) c 2 )' h ( a 2> c s ) • ^ .... 1 
eine partielle Differentialgleichung für ß 2 mit a 2 , c 2 , . . . c 2 »-2 als un 
abhängigen Variablen vor und es sei ß 2 irgend ein Integral derselben.. 
Von der Differentialgleichung: 
dcl 
10) (a 2 , d ) = ( a 2> %) • -0^- H = 0 
dagegen, welche ausser d = a 2 noch ( 2 n — 4 ) unabhängige Integrale 
hat, wollen wir alle wählen und sie mit d x , . . . (¡2,1-4 bezeichnen. 
Wegen 9 ) und 10 ) folgt wieder nach 20 ), § 10 , dass die (ß 2 , d) nur 
von a 2 , d x , . . . chn-4 abhängen. Stellt also e eine Function von 
a 2 , d x , . . . c?2n-4 dar, so ist die Gleichung: 
11) o=(M) = + 
eine partielle Differentialgleichung für e mit a 2 , d x , . . . chn-4 als 
unabhängigen Variablen, welche ( 2 n — 4 ) unabhängige Integrale- 
e x , . . . e2 n —4 besitzt. Weil a 2 , ß 2 , e x , . . . ^2«—4 Functionen von 
c x , ... C2n 4 sind, erfüllen sie ebenfalls die Gleichungen. 7 ) und 8 ). 
Es ist also: