108 II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
( a i> *2) — (ßu ßä) ( a i? 1^2) — ( a 2> ßi) — 0 
und: 
(«i, ex) = (ß 1? ex) = 0. 
Die e bilden nun ebenso eine Gruppe, wie vorhin die c, d. h. 
eine Verbindung (ex, e«) ist eine reine # Function der e. Denn denkt 
man sich dieselbe zunächst als Function der p f und q t dargestellt, 
und dann diese durch die 2 n Functionen a x , ß x , a 2 , ß 2 , e x , . . . e 2 » 
ersetzt, so darf die Verbindung (ex, e^) der Gleichungen 
( a i, (ft) GO) = ( a 2 ? (AG fy)) = (ßu (ex, e^)) = (ß 2 , (ex, e^)) = 0 
wegen weder ß x , noch ß 2 , noch a 1? noch a 2 enthalten. 
Es ist klar, dass man diesen Process, den wir hier bereits durch 
2 Stufen verfolgt haben, ungehindert immer weiter führen kann. Man 
gelangt immer, wieder zu neuen partiellen Differentialgleichungen mit 
immer weniger unabhängigen Variablen und man ist bei der Wahl 
der Integrale niemals einer Beschränkung unterworfen. Führt man 
ihn zu Ende, so erreicht man folgendes Resultat. 
Ist a x irgend eine gegebene Function der pi und q if so 
kann man auf unendlich viele Arten (2 n — 1 ) andere Functionen 
a 2 , . . . a M , ß t , ... ß„ bestimmen, dass: 
(ax, ßx) = 1 
12 ) ( a G ft«) = 0 0< M-) 
(ax, = 0 
(ßi, ß*) = 0. 
Der eigentliche Kern der Entwickelung besteht nun darin, dass 
die Gleichungen 12) n. (2n —1) simultane partielle Differentialglei-- 
chungen zwischen den 2 n Functionen a und ß bilden. Man weiss 
nun, dass, wenn zwischen 2 n Functionen von 2 n Variablen mehr als 
2 n — l partielle Differentialgleichungen gegeben sind, bestimmte Be 
dingungen zu deren Zusammenbestehen erfüllt sein müssen. Diese 
Bedingungen sind hier in der That erfüllt und zwar so, dass die 
Lösung den grössten Grad von Allgemeinheit besitzt, welche über 
haupt mit einem System von n( 2 n —1) Differentialgleichungen ver 
einbar ist. Denn wir sind bei der Integration der successive auf 
tretenden partiellen Differentialgleichungen, in welche die gegebenen 
durch Einführung neuer und neuer Variabein übergingen, in keiner 
Weise beschränkt worden. Diese Erscheinung, welche auch auf an 
deren Gebieten sich zeigt, wie z. B. in der Theorie derjenigen par