§ 14. Die Eigenschaften der Involutionssysteme. 
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Durch Einführung des Systems 7) wird also: 
( a l> ßl) === ( a 2 ? ß 2 ) ~ 0 * 3 , ßs) == 
während alle übrigen Poissonschen Verbindungen zwischen den a 
und ß als Resultat 0 ergeben. 
Wie wir bewiesen, ist das System 7) nicht das einzige, welches 
man aufstellen kann; es ist aber insofern das einfachste, als die neuen 
Constanten durch sehr einfache Relationen aus den alten abgeleitet 
worden sind. 
§ 14. 
Die Eigenschaften der Involutionssysteme. 
Wir haben im § 12 gesehen, dass, wenn p x , . . . p w , q 1} ... q n , 
2 n unabhängige Variable bedeuten, man auf unendlich viele Weisen 
2 n Functionen a x , . . . a n , ß x , . . . ß„ so bestimmen kann, dass: 
0*;., ßl) = 1, 
( a i , M -— 0, ^ < !*■)? 
1) 
2 ) 
3) 0*1, <fy) = (ßi, ß^) = 0. 
Ein solches System wollen wir jetzt nach Lie kurz als ein Involu 
tionssystem bezeichnen. 
Die simultanen partiellen Differentialgleichungen 1), 2), 3), an 
Zahl = w(2w—1), sind als Definition eines Involutionssystems an 
zusehen und aus ihnen werden wir jetzt weitere Eigenschaften des 
selben entwickeln. 
Die Functionaldeterminante wird hier: 
4 ) 
D 
0 a x 
0 a x 
0 a x 
0 a x 
«ih 
0 p» ? 
« 2 i 
« 2 » 
«a„ 
0 a M 
0 a n 
0 a„ 
?Pi 
0 p» 
« 2 i 
0 q n 
«ßi 
«ßi 
«ßi 
«ßi 
d Pl 
0 p» 
0 ?i 
« §» 
0 ß» 
0 ß« 
0 ß» 
«ß» 
«Pi 
0 p» 
02 i 
«<?* 
Aus den Gleichungen 1—3 fhesst nun eine Reihe sehr merk 
würdiger Eigenschaften dieser Determinante, welche, wenn man die