§ 14. Die Eigenschaften der Involutionssysteme.
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Die Differentialquotienten sind liier eingeklammert, um sie von
den früher in 9) und 10) angewendeten, die von ihnen offenbar ganz
verschieden sind, zu unterscheiden. Setzt man 14) in 21) ein, so
muss identisch pi = pi resultiren. Differentnrt man in diesem Sinne
21) nach einem Parameter q/, so folgt:
«-(g0+?(fe)
tan die beiden Indices г
»-(©+?(©
c)a;.
üqi J ' Thea;./ 'bqi
Vertauscht man die beiden Indices i und %
ebenso:
<>Pi\ daz
dq {
so ergiebt sich
Die Summen in diesen beiden Gleichungen sind nun nach 20)
einander gleich. Es folgt also:
23)
Diese Gleichungen sagen aus, dass die rechten Seiten von 21)
die partiellen Differentialquotienten einer Function:
24) V = V (oq, cq, . . . а и , q X) q% } . . . q n \
nach den q sind, derart, dass:
dV
25) pi = (} ~ • • • n )‘
Da nun rückwärts aus den Gleichungen 23) die Gleichungen 15)
folgen, so ergiebt sich, dass die Gleichungen 15) die nothwendigen
und hinreichenden Bedingungen darstellen, damit die Auflösungen der
Gleichungen 14) nach den p diese als partielle Differentialquotienten
einer Function V nach den q ergeben.
Man hätte aber auch können die p mit den q vertauschen, d. h.
in 14) die q entwickeln:
26) qi = qi (oq, . . . a n , p 1} . . . p n ),
und würde dann genau ebenso gefunden haben:
27) qi — ( 1 — 1? 2, ... n ).
Nun müssen offenbar die Gleichungen 26) die Umkehrungen von
25) sein und folgt daher das Resultat.
Bezeichnet man die partiellen Differentialquotienten einer Func
tion V der q x , . . . q„ mit p lf ... p n und drückt umgekehrt die q