136 II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
Die Coordinateli und Geschwindigkeiten sind Functionen der Zeit 
und ßn Constanten, für welche wir jetzt die der Zeit t' entsprechenden 
Anfangswerthe x/, y/, z/, u/, v/, w/ nehmen wollen, so dass die 
Endgleichungen die Gestalt erhalten: 
26) Xi Xi \x x , y ^ , Z x ... U x , v x , w j . . . (t — t )J 
u. s. w. Durch Differentiation von 26) nach t erhält man dann sofort: 
27) m = Ui \x/, y/, z/ . . . u/, v/, w/ ... (t — t'y\. 
Die Wirkung: 
® t 
Mit 28) nehmen wir folgende Transformationen vor. Zunächst 
berechne man aus 26) die u , v', w' und setze sie in 28) ein. 
Es folgt: 
Die Gleichung der lebendigen Kraft wird liier: 
Denkt man sich für u { , v i} iVi ihre Ausdrücke 27) und dann für 
u', v', w' ihre eben angegebenen Werthe eingesetzt, so wird h eine 
Function der alten und neuen Coordinaten und von (t — t'). Be 
rechnet man hieraus (t — t') und setzt es in 29) ein, so folgt endlich: 
Diese Form legte Hamilton seinen Untersuchungen zu Grunde. 
Wir wollen nun annehmen, dass in 25) die hx, hy, hz nicht ganz 
willkürliche Grössen sind, sondern folgendermaassen bestimmt werden. 
Betrachten wir die Bewegung eines Systems von der Zeit t' bis 
zur Zeit t. Sie ist erst durch die Angabe der Anfangscoordinaten 
und Anfangsgeschwindigkeiten individuell bestimmt. Nehmen wir an, 
dass diese unendlich wenig verändert werden, so werden wir eine 
andere Bewegung erhalten, welche aber ebenfalls bestimmt ist. Die 
Configurationen und Geschwindigkeiten werden für einen und den 
selben Zeitpunkt um unendlich wenig differiren und diese Differenzen 
sollen jetzt für hx { , hy { , hzi , hui, hvi, hu'i genommen werden. Sind 
also hx/, hy/ hz/, hu/, hv/, hw/ die Anfangsunterschiede, so ergeben 
sich die hxi u. s. w. sofort aus 26) und 27) in der Gestalt: 
wird dann ebenfalls von der Form: 
29) V= V\x x , y t , z x . . . x/,y/,z/ — 
31) 
V V(x 1 , y x , z x . . . x x , y x , z x ... h ).