180 
III. Abschnitt. Die Theorie der Störungen. 
Wegen der Kleinheit von z wird man nur wenige Glieder dieser 
Entwickelung gebrauchen. Um schliesslich zu der Form 12) zu ge 
langen, hat man zunächst die Potenzen von (cos U — cos TU) in cos 
der vielfachen Winkel aufzulösen. Man findet: 
16) 
2 (cos U — cos TU) 2 — 2 -|- cos 2 U -f- cos 2 TU — 2 cos (U— TU) 
— 2cos(U + TF),. 
4 (cos U — cos TU) 3 = 9 cos U — 9 cos TU -j- cos 3 U — cos 3 TU 
— 3 cos (2U-f-TU) + 3cos(U+2TF) 
— 3cos(2U— TU) + 3 cos(U— 2TU). 
17) 
18) 
Es sei ferner: 
P 2 = {r x 2 + r 2 2 — 
Diese Formel, in der 
n 
2r x r 2 cosU) 2 = 
{n } -) cos (X U). 
( n ? ') = (n~ 
angenommen wird, ist für die analytische Entwickelung der Störungs 
function grundlegend und werden wir uns deshalb im nächsten Para 
graphen eingehend mit ihr beschäftigen. 
Ist nun 9 ein beliebiger Winkel, so ist offenbar: 
cos 9 • ~ 2 ( n l ) cos X V— 2 {n l ) (cos X U-f- 9)+2 ( n l ) cos (—X U-f- 9). 
Die beiden Gheder rechts sind aber einander gleich, wie man sofort 
aus 18) erkennt, wenn man im zweiten Gliede X mit —X vertauscht. • 
Unter Anwendung von 16) und 17) geht daher 15) über in: 
r“ 1 =-i-2(U)cosXU 
^-z r x . r 2 2 (3*) [cos (X -f-1) U — cos (X V-\- TU)] 
+ 0 12 rl . r* 2 (5 ; -) [2 cos X U + cos (X + 2) U + cos (X U+ 2 W) 
— 2 cos ((X ■+1) U — W) — 2 cos ((X +1) V + TU)] 
^-2 3 r^2(7*)[9cos(X+l)U— 9cos(XU+lU) + cos(X-l-3)U 
— cos (X U+ 3 W) — 3 cos ((X + 2) U-f- TU) 
+ 3 cos ((X +1) U+ 2 W ) — 3 cos ((X + 2) U— TU) 
+ 3cos((X+l)U— 2 TU)].