§ 41. Entwickelung der Coordinateli in trigonometrische Reihen. 287 
Die Coordinateli sind dargestellt worden als trigonometrische 
Functionen von (3 n — 1 ) Winkeln: 
111 1'21 • • • • hn — 1 • 
Diese kann man durch irgend (3 n —1) andere 
?i j l 2 , • • • . hn —1 
ersetzen, welche durch die linearen Substitutionen mit ganzen Co- 
efficienten: 
48) h — ai,x li -f- « 2 , 2 1% -f~ ci3n— i,;. hn —1 
aus den alten gebildet sind, vorausgesetzt, dass die Substitutions 
determinante = 1 ist. Denn dann werden die Auflösungen von 48): 
49) li = fri, 2 l x -f- 02,1 12 "h * • • * ^3»— 1 ,/ hn—i 
ebenfalls ganzzahhge Coefficienten enthalten. Ist demnach H irgend 
eine lineare Function der l mit ganzen Coefficienten, so wird sie ver 
möge 49) in eine ebensolche Function H' der V verwandelt und um 
gekehrt. 
Beschränkt man das Problem der n - f- 1 Körper auf die Ent 
fernungen, so kommen nur Winkel von der zweiten Art h vor, für 
welche die Summe der ganzen Zahlen verschwindet. Daraus folgt, 
dass man diese Winkel auch so schreiben kann: 
h = b 1 l 1 b 2 l 2 ~b ^3 «—1 hn — i 
— fr 2 (h — h) b 3 (l 3 — h) ' * ’ ' • ~\~ bin —1 (hn—i — h), 
so dass sie also nur von den 3 n — 2 Winkeln 
l 2 /jl, h ln • • • • hn —1 h 
abhängen. Irgend einen Winkel der ersten Art kann man ebenso 
umformen in: 
H = a x l t a 2 h “h ’ ' * * fl 3n —1 hn—i 
— h ~~P ög (h h ) “I - * * ’ -P ^3 «—1 (hn —1 ^i)* 
Daher: 
Wenn n —|— 1 Körper um ihren Schwerpunkt kreisen, so 
werden ihre Entfernungen trigonometrische Functionen von 
3 n —2 Winkeln, welche sämmtlich lineare Functionen der 
Zeit sind. Um die Coordinateli selbst zu berechnen, muss 
man noch einen Winkel von derselben Form hinzufügen. 
Für n — 1 bestätigt sich dieses Resultat vollkommen. Die Ent 
fernung des Planeten von der Sonne ist eine trigonometrische Func 
tion der mittleren Anomalie. Um die Coordinateli x und y zu be 
rechnen (z ist hier = 0) bedarf man noch eines zweiten Winkels, 
der hier Constant und zwar gleich der Länge des Perihels ist.