§ 4. Entwickelung der Coordinaten als Functionen der Zeit. 
23 
Die LAGRANGE’sche Reihe beschäftigt sich mit der Entwickelung 
von x nach steigenden Potenzen von e, wenn zwischen beiden eine 
Gleichung von der Form: 
2) x — y -j- ß 9 i x ) 
gegeben ist, wo 9(3;) eine beliebig gegebene Function von x bedeutet. 
Diese Entwickelung lautet: 
3) 
y + T • 9 (y) 
0(9) : 
1 .2.3.4 
1.2 dy 
. 03 [9 (y)Y 
dif 
1.2.3 
3 2 [9 iy)Y 
Man kann diese Entwickelung noch verallgemeinern, indem man 
statt x irgend eine Function f(x) nach steigenden Potenzen von e 
entwickelt. Man erhält: 
4) m=m + f• • f’y + 4- 
, ^yYf'iy)] 
~ t ~ 1.2.3 0 2 y 
+ 
Ueber die Convergenz dieser Reihe, mit deren Ableitung wir uns 
hier nicht beschäftigen wollen, haben verschiedene Mathematiker 
Untersuchungen angestellt und ist das Endresultat z. B. in Serret, 
höhere Algebra, Theil I, S. 368 (deutsche Uebersetzung) wie folgt an 
gegeben : 
Die Gleichung x = y e<?(x) hat, wenn e und y gegeben sind, 
mehrere Wurzeln, die im allgemeinen verschieden sind. Ist e x der 
kleinste Werth, für welchen bei gegebenem y zwei dieser Wurzeln 
gleich sind, so ist die Reihe von Lagrange convergent, so lange der 
absolute Werth (Modul) von e kleiner ist als derjenige von e 1 und 
zw r ar liefert dieselbe diejenige Wurzel, welche den kleinsten Modul hat. 
Für das KERLER’sche Problem hat man zu setzen: 
E, y = M, (¡¡>(x) — sin x 
und erhält daher: 
5) 
7 -t ,, , e . , r | e 2 0 sin 2 M 
E = M + -y sm M + 2J' ~~ 
e 3 0 3 sin 4 ilf 
TT 0 3 i¥ 
3! 
+ 
0 2 sin 3 Jlf 
d 2 M 
Um die Differentationen auszuführen, ist es zweckmässig, die 
Potenzen von sin M nach sin und cos der Vielfachen von M zu ent 
wickeln. Man erhält dann bis auf die 6 ten Potenzen von e genau: