§ 8. Specialfälle des Problems der drei Körper. 
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und mit Hilfe dieser Gleichung ergiebt sich, dass auch hier die Ent 
fernungen constant bleiben, wenn ihre ersten und zweiten Differential- 
quotienten nach der Zeit in einem gegebenen Zeitmoment verschwinden. 
Aus der Gleichung 42) folgt dann: 
[ 1 , 1 ], [ 2 , 1 ] 
[ 1 , 2 ], [ 2 , 2 ] 
Pl, — KPl + P 2 — P») 
-f(A + A-A, P.) 
Sie zerfällt in zwei und haben wir also: 
1) 
0 = 
[ 1 , 1 ], [ 2 , 1 ] 
[1,2], [2,2] 
2 ) 
0 _ Pi, -*(Pi + Pi-P.) 
-i(Pi + P.-P.), P. 
Betrachten wir zunächst den Fall 1). 
Die Gleichung: 
0 = 
[1,1], [2,1] 
[1,2], [2,2] 
verwandelt sich nach den Gleichungen 24), § 7, in: 
° = (**12 + **23+**3l)(**12 + **23—**3l)(**12 —**23 + **3l)(**12 + **23 + **3l)' 
Die drei Entfernungen sind positiv genommen, es kann also nur 
einer der drei letzten Factoren verschwinden und sagt die Gleichung 
aus, dass die grösste Seite des aus ihnen gebildeten Dreiecks gleich 
der Summe der beiden anderen ist. Es sei r 23 die grösste von ihnen, 
so haben wir also: 
H) *23 = **12 + **13, 
und wenn wh* nur reelle Bahnen betrachten, so müssen demnach die 
drei Punkte in einer geraden Linie hegen. Aus I) und II) folgen die 
Verhältnisse der Entfernungen zu einander. 
Bezeichnet man r 23 , r 13 , r 12 mit x x , x 2 , x 3 , so ist also: 
HI) x 1 = x 2 -\-x 3 . 
Daraus folgt: 
[2,3] = — %{x 2 2 + ^ 3 2 — x i 2 ) = + «2^3 
[3.1] = — %(x 3 2 + ^i 2 — x 2 2 ) = — X l X 3 
[1.2] = — ^(x x 2 -j- x 2 2 — x 3 2 ) = — x x x 2 
und I) geht daher, wenn man die Nenner fortschafft, über in: 
IV) m 1 (x 3 3 — x 2 2 )x x 2 — m 2 (x x 3 — x 3 3 )x 2 2 — m 3 (x 2 2 — x x 2 )x 3 2 = 0, 
also in eine Gleichung 5 ten Grades, während Gleichung I) im Allge 
meinen vom 8 ten Grade ist.