§ 8. Specialfälle des Problems der drei Körper.
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Nun ist:
-4 [2,2] — -B[l,2] = w([l,l][2,2] [lj2] 8 )+w(l,3] [2,2]—[2,3] [1,2])
= (u —w)([l,l][2,2] — [1,2] 2 ),
5[1,1]“^[1,2] = ®([1 > 1][2,2]-[1,2]*)+ii>([2,3]1,1]-[1,3][1 i 2])
= (v-w)([ 1,1][2,2]—[1,2]*),
Die Gleichung zerspaltet sich in drei. Der erste und letzte Factor
können, so lange nur positive Massen zugelassen werden, nicht ver
schwinden. Es bleibt also nur noch der mittlere und kommt man
dann auf den vorigen Fall, in welchem die drei Punkte in gerader
Linie hegen, zurück.
Lässt man im Problem der drei Körper auch negative Massen
zu, so können der erste oder der dritte Factor ebenfalls = 0 sein.
Dann bleibt die Ebene der drei Bahnen nicht stets dieselbe, vielmehr
dreht sie sich um eine im Allgemeinen gegen diese Ebene geneigte
Achse. Die relativen Bahnen zweier Massenpunkte unr den dritten
sind dann auch noch Kreise; die Ebenen derselben gehen aber nicht
durch diesen (bitten Punkt.
Uebrigens möge noch als Anmerkung erwähnt werden, dass der
Fall, in welchem die Summe der Massen verschwindet, einen ganz
eigentümlichen Grenzfall des Problems der drei Körper darstellt.
Es existirt dann kein Schwerpunkt, die Ausdrücke 2»w, Smy, 2 m z
sind nur von den relativen Coordinateli abhängig, und die sechs
Schwerpunktsintegrale müssen daher zur relativen Bewegung gerechnet
werden. Sind z. B. nur zwei Körper vorhanden, so ist die relative
Bahn des einen zum anderen eine mit gleichförmiger Geschwindigkeit
durchlaufene gerade Linie und die relativen Coorchnaten sind lineare
Functionen der Zeit. Um die wirklichen Bahnen zu ermitteln, hat
man diese Functionen in die ursprünglichen Differentialgleichungen 1),
§ 1, einzusetzen, worauf dieselben durch unmittelbare Quadraturen zu
bestimmen sind. Ein specieller Fall ist der, dass die relativen Coordi-
naten unveränderlich sind, dann beschreibt jeder Punkt eine Parabel
im Raume.
Sind drei Körper gegeben, für welche m x + m 2 m 3 = 0, so
kann man die Ordnung des reducirten Problems, welche im Allgemeinen,
nach Benutzung der Flächenintegrale und des Satzes von der leben-
also:
oder:
