§ 8. Specialfälle des Problems der drei Körper. 77 
wo p' aus dem Werth 45) für erhalten wird, wenn man r x , r 2 , r 3 
an Stelle von r, 
23> '31? '12 
setzt. 
Aus VII) kann man zwei ähnliche Differentialgleichungen mit 
den Coefficienten r 2 2 , P 2 ', A a p' und r 3 3 , P 3 , A 3 p' bilden. Wenn 
nun nicht = 0, also die Entfernungen nicht constant sein sollen, 
so müssen, wie sich leicht beweisen lässt, die Coefficienten dieser Glei 
chungen in Proportion stehen. Es muss also sein: 
VIII) r, 2 : r 2 2 : r 3 2 = P t ': P 2 ' : P 3 = A x p': A a p': A 3 g'. 
Dies sind vier unabhängige Gleichungen zwischen den drei Grössen 
r 1} r 21 r 3 un d es zeigt sich, dass diese mit einander bestehen können. 
Setzt man zunächst das erste System zum dritten proportional 
und nimmt an, dass p' nicht verschwindet, oder, wenn es verschwin 
det, dennoch: 
n* 2 • /y» 2 • y, 2 A • A • A 
r l • r 2 * r 3 AL • ^*2 • ^*3 ? 
so ist auch: 
"1 ^2 
Nun ist nach VI): 
A 
q* 2 /y* 2 
1 i '2 
nun ’ 
^1 I ^2 i A 3 
m, m 9 
3 nicht = 0 sein kann, so folgt: 
3 
folghch: 
IX) r x = r 2 = r 3 . 
Wir wollen diese = 1 annehmen, dann wird: 
y ry /1 / 
'12 '23 '31 "■> 
und das Dreieck ist also wieder ein gleichseitiges. 
Die übrigen Bedingungen VIII) sind ebenfalls erfüllt, denn es 
folgt aus IX): 
P 3 = - M. 
Die Differentialgleichung VII), von der wir ausgegangen, nimmt 
die Gestalt an: 
du du 
= — M 
dt 
,3