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II. Abschnitt. Die allgemeinen Eigenschaften der Integrale. 
Endziel der Integration, die pi und cp als Functionen von t zu er 
mitteln, so heisst das richtiger: als Functionen von t und der 2 n 
Constanten a x , . . . a<i n - In diesem Sinne sind also die zu bestim 
menden Endausdrücke von der Gestalt: 
14) 
I Pi Pi i @'2 • • • » ) 0 ^ j 2 
( qi — qi (a x , a 2 . . . a 2w , t) 
wo rechts Functionen der eingeklammerten Grössen stehen und vor 
die Klammer diejenige Grösse gesetzt wird, welche durch diese Func 
tionen bestimmt wird. (Diese Schreibweise empfiehlt sich durch ihre 
Deutlichkeit und Einfachheit.) 
Denkt man die Gleichungen 14) nach den ci aufgelöst, so erhält 
man diese als Function der p i: qi, t , also in der Gestalt: 
15) Oi — cii (p x ■ • • P», ii • • • q n , t). 
14) und 15) sind Umkehrungen von einander. Denn in derselben 
Weise, wie aus 14) die Gleichungen 15) entstanden sind, kann man 
auch aus 15) durch Auflösung nach p { und q { wieder das System 14) 
bilden (wobei t lediglich die Rolle eines Parameters spielt). 
Es ist ohne Weiteres klar, dass in der Wahl der Constanten dt 
eine grosse Willkür liegt. Denn hat man irgend ein System a x ... a% n 
aufgestellt, so kann man irgend 2 n von einander unabhängige Func 
tionen derselben, welche ja auch constant sind, in die Gleichungen 
14) und 15) einführen und so von dem gegebenen System zu irgend 
einem neuen a x , a 2 ', ... übergehen. Es ist dies ein Umstand,, 
welcher uns später von grossem Nutzen sein wird. 
Das Problem der Integration kann man also auch so auffassen, 
dass man 2 n Gleichungen 15) bildet, d. h. mit anderen Worten, 2 n 
Functionen der p,, qi, t aufstellt, welche die Eigenschaft haben, mit 
Hilfe der Gleichungen 9) in Constante überzugehen. Solche Func 
tionen nennt man nach Jacobi im engeren Sinne Integrale der Glei 
chungen 9). Integrale sind daher Functionen der p { , qi, t, 
welche keine willkürliche Constante enthalten und welche 
vermittelst der Gleichungen 9) in willkürliche Constanten 
übergehen. 
Diese Functionen genügen einer partiellen linearen Differential 
gleichung erster Ordnung, welche auch als ihre Definitionsgleichung 
angesehen werden kann. Dann ist a(p x , p 2 , . . . p n , . . . q„, t) 
eine solche Function, so ist: 
da