LIVRE III.
THÉORIE DES PLANÈTES.
CHAPITRE XII.
DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES
RELATIFS AU MOUVEMENT KÉPLÉRIEN ELLIPTIQUE.
78 . Avant d’aborder l’élude analytique du mouvement des pla
nètes, il est tout d’abord nécessaire de porter notre attention sur la
résolution de certains problèmes relatifs au mouvement képlérien
elliptique , à l’aide de développements en séries. Nous reprendrons
ici les notations du Chapitre III, de sorte que, dans l’ellipse de demi-
grand axe a et d’excentricité s, le rayon vecteur et les trois anomalies
vraie, excentrique et moyenne seront respectivement (v, u , g\ les
coordonnées rectangulaires correspondant aux coordonnées polaires r,
ce, seront aussi X, Y. To utes ces quantités sont réelles; de plus, a ,
£ sont positives, et cette dernière est inférieure à l’unité.
Nous avons rencontré précédemment déjà des formules permettant
de développer en série les coordonnées X, Y et toutes les fonctions
analogues suivant les puissances entières et positives de g — g 0 , en
désignant par g 0 une valeur particulière de g ; et nous avons déter
miné au n° 31 les conditions de convergence de ces développements,
en étudiant les singularités de la fonction u de g■ définie par l’équation
de Képler
u — s sin u = g.
Mais c’est une autre sorte de développements que nous devons
maintenant envisager. Le mouvement est périodique, et les coor
données'du point mobile reprennent les mêmes valeurs lorsque les