THÉORÈMES GÉNÉRAUX RELATIFS AUX INÉGALITÉS SÉCULAIRES. 
N 
axes, X, Y, Z seront les coordonnées du Soleil, dont la masse est 
l’unité, de sorte que 
l'indice p prenant toutes les valeurs possibles dans les sommations. 
Le système étant soustrait à toute action extérieure, le théorème des 
aires a lieu par rapport à un plan quelconque passant par G, et pour 
ce point considéré comme centre des aires. En choisissant GXY 
pour ce plan, et marquant par un accent les dérivées par rapport au 
temps, on a donc 
ou bien encore 
(9) 2/ n v (x p y' p —x' p y p ) 
-F- S m p m q [(x p — x q ) (y' p — y' q ) — (x\—x ' q ) (y P — y 7 )] = const., 
en étendant la dernière sommation à tous les indices p etq. 
En regardant, comme au n° 9 i, les masses m p comme étant du 
même ordre de grandeur qu’un certain paramètre p, reprenons pour 
un instant les développements obtenus dans ce paragraphe pour les 
éléments des planètes Mp, et remplaçons l par 1 partout où il figure 
en dehors des arguments tels que / 0 - D’après les propriétés reconnues 
de ces développements, ils procéderont maintenant suivant les puis 
sances entières non négatives de t' et de p, et en y faisant p = o, 
on obtiendra précisément leurs parties séculaires principales, telles 
que nous les avons définies au début de ce Chapitre. 
Les coordonnées x p , y p et leurs dérivées x' pJ y' p sont des fonctions 
des éléments, qui se développeront de même. Portons leurs valeurs 
dans l’équation précédente (9), et après l’avoir divisée par p, faisons 
p = o : le premier membre demeurera une constante. D'autre part, 
nous savons que l’on a généralement 
X(i 4 - 2 m p ) -+- S mpXp — o, 
XY'— X'Y -+- 2 mpCXpX'p - X' p Yp) = const, 
c’est-à-dire, d’après les relations précédentes, 
~mp(x p y'p— x'pYp) — 
(^mpXp^m p y' p — 'Lm p x'p^mpyp) — const., 
Xpg'p — x ' P yp — n P a l cos j v s/ i — rPp,