51. Drei gleichsinnig ähnliche Felder in allgemeiner Lage. 1267
Doppelpunkt gellt, also als Kreis Y k Y 1 D kl bezeichnet werden kann.
Diese drei Kreise haben einen Punkt S gemeinsam, und die Geraden
Yfi sind neben den Minimalgeraden die einzigen Geraden s f dieser
Punkte Y { , die sich in einem Punkte treffen. Die JEnveloppen der
Geraden s { sind daher drei Punkte B { , die einander in den drei Feldern
entsprechen. Für diese Punkte werden die obigen Kreise B k B l D kx zu
nächst unter sich und folglich auch dem Ähnlichkeitskreis D 23 D 3l D 12
identisch. Jeder Punkt S dieses Kreises wird aus B 1} B 2 , B 3 durch
homologe Strahlen projiziert. Umgekehrt sind B i Y { drei solche Strahlen
für ganz beliebige Punkte Y i} deren Dreieck also perspektiv zum
Dreieck B liegt. Für die drei Punkte B 1} B 23 , I) 23 findet man, daß
die Geraden B 1 B i , B 2 J) 23 , B 3 B 23 durch Z) 23 gehen, so daß also die
Punkte B t auch als Schnittpunkte des Kreises B 23 B 31 D 12 mit den Ge
raden B i D k ,6r bestimmt sind. Die Punkte B { heißen die „unveränder
lichen Punkte“ (Points invariables).
Entsprechende Geraden y. tragen ähnliche Punktreihen, erzeugen
also Parabeln, die den Dreiecken B kv K x K 2 (K v K 2 Kreispunkte) einbe
schrieben sind, d. h. die Doppelpunkte D kl zu Brennpunkten haben. 343 )
Zwei dieser Parabeln [y { y^\ und \y.y ; ] haben außer der unendlich fernen
Geraden und der Geraden y i noch zwei Tangenten gemeinsam, die also
homologe Punkte aller drei Geraden verbinden und folglich auch der
Parabel \y k y^[ angehören. Nach dem obigen Satze gehen diese Geraden
durch 6r. Die Kurve, der die Punkte Y i angehören, für die Y x Y 2 Y 3
eine Gerade ist, muß wegen der Zweizahl der Tangenten von der zweiten
Ordnung sein. Es handelt sich um die Kreise von M’Cay H0 ), deren
diesbezügliche Eigenschaft freilich schon bei B. Müller 34 °) (p. 5) zu
finden ist.
Das von drei entsprechenden Geraden t/,. gebildete Dreieck liegt
perspektiv zum Dreieck D 23 B 3i D 12 , und zwar bleibt das Kollineations-
zentrum unverändert, solange die Geraden y. ihre Richtung beibe
halten. Gehen sie schließlich durch die unveränderlichen Punkte B v
so erkennt man, daß das Kollineationszentrum auf dem Ähnlichkeits
kreise liegt.
Alle Dreiseite y { haben dieselbe Form, da die Seiten von je zweien
sich unter gleichen Winkeln schneiden. Alle Ähnlichkeitspunkte liegen,
da sie sich mit den genannten Kollineationszentren identifizieren lassen,
ebenfalls auf dem Ähnlichkeitskreise.
343) Dazu gehören die Jrteischen Parabeln 840 ), die man durch ähnliche
Punktreihen auf den Seiten oder Mittelsenkrechten eines Urdreiecks erhält; ähn
liche Untersuchungen sind von Brocard (Mathesis (2) 10 (1900), vorher Mont
pellier Acad. 11 (1886), p. 51—68.
