sicher bei der durch die Indices vorgeschriebenen Anordnung der Fac- 
toren für jedes endliche x und zwar ist bei Ausschlufs der Werthe 
x — — 1 : a n sein Grenzwerth von Null verschieden.“ Denn es con- 
vergirt die Reihe mit dem allgemeinen Gliede 
(— lf 
«n« — 1 («„*)* + •■ ' 
für jeden endlichen Werth von x. — Sind die Zahlen a n sämmtlich 
reell, so mufs , wenn überhaupt, absolut convergiren. Der Satz 
geht dann für m = 2 x = 1 in den Cauchy’sehen über: „Wenn 
und convergiren, so convergirt das unendliche Product (v) und 
sein Grenzwerth ist von Null verschieden.“ So convergirt das Product 
(1 - *) (1 + |) (1 - i) (1 + *) (1 
bei dieser Anordnung der Factoren; sein Grenzwerth ist 
Im Falle dafs die a n sämmtlich reell und m gleich einer 
geraden Zahl 2k ist, kann mau, da für n >• [i 
- 1 — > A! >1— £ — £ 3 — • • • = 1 . 
ist, noch behaupten, dafs wenn la™ divergirt, auch die Reihe T.a™ R n 
divergent ist. Hieraus schliefst man durch einen Blick auf die Glei 
chung (w) die folgenden Sätze 4 *): 
1) „Convergirt die Reihe (u) und divergirt Rie Reihe 
so hat das Product (v) bei der durch die Indices vorgeschriebenen 
Anordnung der Factoren den Grenzwerth Null. — Das Nämliche gilt, 
wenn der Ausdruck 
-^0, m ^1 , n “t“ ' ‘ u ^n, in ÖO 
bei lim n — -f oo endliche Unbestimmtheitsgrenzen hat.“ Für k — 1 
erhält man wieder einen Cauchy’sehen Satz, demzufolge das Product 
(‘ + tj) (' - Ti) 
bei dieser Anordnung der Factoren zum Grenzwerthe Null convergirt. 
2) „Divergirt die Reihe (u) und hat sie bei lim n -j- = oo den 
Grenzwerth — oo, so hat das Product (v) den Grenzwerth Null.“ 
Z. B. das Product