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Blatt 37. 
einer Kugel stets bemühen, solche Hülfsebenen zu verwenden, 
welche || zu einer T. sind. Schneiden dieselben einen außer 
der Kugel vorhandenen Cylinder oder Kegel ebenfalls nach 
Kreisen, so ist die Konstruktion der Durchdringung einfach, 
sollten aber Ellipsen entstehen, so wird sie schwierig oder 
doch sehr umständlich. 
Da der Kegel im vorliegenden Falle ein schiefer Kreis 
kegel ist, dessen Grundfläche in der 1. T. sich befindet, so 
wird jede Ebene, welche j| zur 1. T. ist, ihn immer nach 
einem Kreise schneiden. Wir werden hier deshalb horizontale 
Hülfsebenen verwenden. 
Zunächst teilen wir die Bildkontur der 2. P. der Kugel 
in 32 gleiche Teile und legen durch diese Teilpunkte Parallel 
kreise, welche wir in beiden P. P. zeichnen. Jede Ebene 
eines solchen Parallelkreises ausgedehnt, schneidet auch den 
Kegel nach einem Kreise, und die beiden Schnittpunkte 
der Kreisumfänge, welche in 1. P. zu erkennen sind, sind 
Punkte, welche auf den beiden Körperoberflächen liegen und 
der Durchdringung angehören. 
Sollten sich beide Kreise nicht schneiden, so ist dies 
ein Zeichen, daß in dieser Höhe die Oberflächen keinen 
Punkt gemeinsam haben. Sollten sie sich berühren, einerlei 
ob von außen oder von innen, so erhält man in dieser Flöhe 1 
nur einen gemeinsamen Punkt. 
Werden alle so bestimmten Punkte durch eine Kurve 
verbunden, so bekommen wir einen Linienzug der Durch 
dringung mit den Punkten I bis XX, welcher in beiden 
P.P. teilweise sichtbar, teilweise unsichtbar erscheint. 
Fig. 2 ist, von vornen gesehen, die aus der Durch 
dringung herausgenommene Kugel. Fig. 3 ist der aus der 
Durchdringung herausgenommene Kegel von oben gesehen. 
In Fig. 4 ist, in beiden P. P. gezeichnet, das gemeinsame 
Stück beider Körper, der Kern der Durchdringung, zu welchem 
jeder Körper noch ein Außenstück hat. 
Fig. 5 ist der abgewickelte Mantel des Kegels. 
Um diese Abwickelung vornehmen zu können, wurde 
schon von Anfang an ein System von sechzehn Mantellinien 
auf den Kegelmantel gelegt, wozu der Umfang der Boden 
fläche in sechzehn gleiche Teile, von den Endpunkten des 
© ari aus, eingeteilt wurde. Es kann deshalb der Kegel 
als eine sechzehnseitige Pyramide aufgefaßt und sein Mantel 
in der früher beschriebenen Weise abgewickelt werden. Die 
wahren Längen der Mantellinien wurden dabei durch Parallel 
drehen zur 2. T. bestimmt. Schließlich wurden die ge 
fundenen Punkte mittelst einer Kurve verbunden. 
Die Durchdringungspunkte liegen alle auf den Parallel 
kreisen der Kugel, aber nicht auf den angenommenen sech 
zehn Mantellinien des Kegels, und es können deshalb diese 
Mantellinien, welche wir zur Bestimmung der Abwickelung 
des Kegelmantels nötig hatten, eigentlich nicht zum Über 
tragen der Durchdringungspunkte verwendet werden. Man 
sollte vielmehr, in der Art wie früher gezeigt wurde, durch 
alle Durchdringungspunkte neue Mantellinien legen, w r as aber 
recht umständlich ist und durch folgendes Verfahren ver 
mieden werden kann. 
Wir erkennen die Stellen, an welchen die sechzehn 
Kegelmantellinien den Linienzug der Durchdringung schneiden, 
in ihren beiden P. P. Diese Schnittpunkte sind nicht be 
zeichnet, liegen aber zwischen den mit römischen Ziffern 
versehenen Punkten. Indem wir die wahren Längen der 
Mantellinien zur Bestimmung der Abwickelung des Kegels 
ermitteln, fällt es uns leicht, die Abschnitte auf diesen 
Mantellinien, welche zu den vorerwähnten — nicht bezeich- 
neten — Punkten gehören, entweder von der Spitze aus 
oder vom Umfang der Bodenfläche aus in wahrer Länge zu 
erhalten. Tragen wir diese Punkte in die Abwickelung ein, 
wie es z. B. bei den Punkten t und u gezeigt wurde, und 
verbinden sie durch eine Kurve, so ist diese die Verwandelte 
der Durchdringungskurve. Legt man Wert darauf, auch 
unsere zwanzig konstruierten Durchdringungspunkte in der 
Abwickelung zu haben, so finden wir ihre genauen Plätze, 
wenn wir in Fig. 1 durch die 1. P. jedes Punktes die 1. P. 
einer zugehörigen Mantellinie ziehen. Die Fußpunkte (oder 
1. Sp. Sp.) dieser Mantellinien übertragen wir von einem 
Nachbarpunkte (einem der Punkte a bis q) ■ aus mittelst 
kleiner Teile auf die Verwandelte des Bodenflächenumfanges 
in die Abwickelung Fig. 5. Verbinden wir hierauf einen 
so übertragenen Punkt mit s, so schneidet diese Mantellinie 
aus der schon vorhandenen Durchdringungskurve den be 
treffenden Punkt heraus, wie bei dem Punkt XIX mit 
Hülfe der Mantellinie vs gezeigt wurde. 
Zieht man in 1. P. Fig. 1 Mantellinien siv und sx, 
welche die 1. P. der Durchdringungskurve berühren und 
zwar in unmittelbarer Nähe der Punkte I und XII , so muß 
auch in der Abwickelung die Verwandelte der Durchdringungs 
kurve die übertragenen Mantellinien ivs und xs berühren 
und zw r ar auch wieder nahe bei den Punkten I und XII. 
Fig. 6 ist die Abwickelung der Kugel nach Zonen, 
genau nach der Anleitung zu Blatt 13 hergestellt. 
Der Kugelmantel ist dabei an dem Halbmeridian 
5— 0—13 als zusammenhängend und an dem Halbmeridian 
13—1 — 5 als aufgeschnitten angenommen worden. 
Die Punkte der Durchdringung, welche alle auf Parallel 
kreisen liegen, wurden mittelst kleiner Teile auf dem be 
treffenden Parallelkreis in ihrer Entfernung vom Halbmeridian 
5—9 — 13 als Ausgang abgegriffen und übertragen. 
Ein Zeichen genauer Konstruktion ist, wenn die Prüfung 
mittelst kleiner Teile die Übereinstimmung der geschlossenen 
Kurve auf dem Kegelmantel und der Summe der einzelnen 
Stücke auf den abgewickelten Zonenmänteln der Kugel 
ergiebt. 
Blatt 37. 
Durchdringungen krummflächiger Körper. 
Auf diesem und dem nächsten Blatte ist noch eine 
Anzahl Durchdringungen von Körpern mit krummen Ober 
flächen gezeichnet, bei welchen neue, von den bisher ge 
brauchten verschiedene, Methoden angewendet sind. 
Dem Lehrer kann es überlassen werden, ob er diese 
Blätter geradeso, wie sie sind, verwenden will, oder ob er 
aus einer einzelnen Figur ein ganzes Blatt machen läßt, indem 
etwa die Durchdringung gedreht und in veränderter Stellung 
gezeichnet wird; oder es werden die Körper einzeln aus der 
Durchdringung herausgenommen, ihre Netze aufgetragen u. 
dergl. Die Blätter dieser Art (32, 37, 38 und 40) können 
deshalb als Sammelblätter bezeichnet werden. 
Es sind hier Durchdringungen einfacher geometrischer 
krummflächiger Körper unter sich dargestellt und zwar: