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Blatt 39. 
um 14 mit einem Basiskreis um r und einem Radius rt, 
sowie den Mantellinien us und t'S die Punkte V und VI; 
ferner ein Kegel um den Parallelkreis um 15 mit einem 
Basiskreis um w und einem Radius wx, sowie den Mantel 
linien ys und zs die Punkte VII und VIII u. s. w. 
Es ergeben sich zwei getrennte Linienzüge der Durch 
dringung, und mithin entsteht eine vollständige Durchdringung. 
Wenn in diesem Falle auch der Mittelpunkt der Kugel 
in der Kegelachse liegen würde, so wären die Durchdringungs 
kurven doch keine Kreise, sondern unebene Kurven, da der 
schneidende Kegel ein schiefer Kegel, aber kein gerader 
Kreiskegel ist. 
In Fig“. 4 soll die Durchdringung zweier abgestumpften 
geraden Kreiskegel konstruiert werden, deren Achsen sich 
schneiden und beide || zur 1. T. sind. 
Eine Hülfsebene || zur 1. T. und durch beide Kegel 
achsen schneidet die beiden Kegeloberflächen nach zwei 
Trapezen. Die Umfänge beider Trapeze treffen sich in den 
4 Punkten I, II, III und IV. Weitere horizontale Ebenen 
aber, welche entweder tiefer oder höher als die vorige liegen, 
schneiden beide Kegelmäntel nach Hyperbelbögen, welche 
unbequem zu zeichnen sind. 
Um in bequemerer Weise weitere Punkte der Durch 
dringung zu erhalten, verfahrt man wie folgt: Eine Kugel, 
welche ihren Mittelpunkt in der Achse eines geraden Kreis 
kegels hat, schneidet, wenn sie groß genug ist, den Kegel 
nach zwei Kreisen. Da hier die Achsen beider Kegel sich 
im Punkte m treffen, so ist es möglich, Kugeln anzunehmen, 
welche ihren Mittelpunkt in m haben, und welche deshalb 
beide Kegel zugleich nach vier Kreisen schneiden, deren 
Ebenen alle J_ zur 1. T. gerichtet sind. Je 2 dieser Kreise 
schneiden sich und zwar immer in 2 Punkten, so daß sich 
von den 4 Kreisen 8 Schnittpunkte ergeben. 
So schneidet z. B. eine Kugel mit dem Radius ml den 
gelben Kegel nach den Kreisen op und qr und den blauen 
Kegel nach den Kreisen st und uv. Diese Kreise liegen 
alle auf der Oberfläche der Kugel (mit Radius mV) und 
schneiden sich in den Punkten V, VI und VII auf der 
unteren Halbkugel und in den Punkten VIII , IX und X 
auf der oberen Halbkugel. Es sind nur 6 Punkte, da die 
Kreise qr und uv sich nicht erreichen und deshalb 2 Punkte 
ausfallen. 
Eine Kugel von m aus mit dem Radius mw berührt 
den gelben Kegel nach einem Kreis mit dem 0 wx und 
schneidet den blauen nach den beiden Kreisen yz und y z . 
Es ergeben sich die Punkte XI und XII unten und XIII 
und XIV oben u. s. w. 
Die 3. P. ist aus dem Grunde eingeführt, um die Höhen 
der einzelnen Punkte über der 1. T. zu erhalten und hieraus 
ihre 2. P.P. angeben zu können. Alle gefundenen Punkte 
der Durchdringung liegen auf den Kreisen des gelben Kegels, 
welche, da sie || zur 3. T. sind, sich als konzentrische Kreise 
auf dieser projizieren. Es ist deshalb leicht, die 3. P. P. 
der Durchdringungspunkte zu bestimmen, und es ergiebt sich 
bei allen die Höhe über der 1. T. Durch Hinauf loten zur 
1. A. und Anträgen der Höhen aus der 3. P. findet man die 
2. P. P. der Durchdringungspunkte. 
Der Genauigkeit wegen wird man noch mehr solche 
Kugeln annehmen und man erhält durch die richtige Ver 
bindung genügend vieler konstruierten Schnittpunkte zwei 
getrennte Linienzüge der Durchdringung, also eine voll 
ständige Durchdringung. 
In Fig. 5 ist die Durchdringung zweier geraden Kreis 
kegel zu bestimmen, von welchen der eine auf der 1. T. 
aufsteht, der andere mit seiner Achse zu beiden T.T. || ist. 
Wir verbinden die Spitzen beider Kegel geradlinig und 
suchen von dieser Geraden die 1. Sp. s und den Durch 
dringungspunkt t (d. i. die 3. Sp.) mit einer durch die Boden 
fläche des blauen Kegels gelegten neuen 3. T., welche mit 
hin eine Kreuzrißtafel ist. 
Beide Kegel werden auf die 3. T., welche nach links 
| in die 2. T. umgeklappt wird, projiziert; ebenfalls die Ge 
rade so 18t. Auf beiden Kegelmänteln werden Systeme von 
Mantellinien eingeteilt und zwar auf dem gelben 16, auf 
dem blauen 12. Jede Hülfsebene, welche durch die beiden 
Kegelspitzen gelegt Avird, hat eine 1. Sp., welche durch s lt 
und eine 3. Sp., welche durch t 3 geht. 
Legen wir eine solche Ebene durch die Mantellinie 
co des blauen Kegels, so geht deren 3. Sp. durch t 3 , c 3 und 
p 3 und schneidet die Mantelfläche des blauen Kegels nach 
dem Dreieck cpo , wie aus der 3. P. zu ersehen ist, und die 
Mantelfläche des gelben Kegels nach dem Dreieck 19, 20, 18, 
wie aus der 1. P. zu ersehen ist. Beide Dreiecke schneiden 
sich mit ihren Umfängen in den Punkten I, II, III und 
IV, wie die 1. P. zeigt u. s. w. 
Zieht man von t 3 aus eine Berührungslinie an den 
Umfang der Bodenfläche des blauen Kegels — den Kreis 
j um n 3 —, so berührt sie denselben in r 3 , und es wird daher 
eine Ebene durch o,18,t und r den blauen Kegel nach der 
Mantellinie ro berühren. Dieselbe Ebene schneidet den gelben 
Kegel nach dem Dreieck 21, 22, 18 (in 1. P. zu erkennen), 
und wo ro den Umfang dieses Dreiecks schneidet, sind die 
Punkte V und VI. 
Zieht man von s x aus eine Tangente an den Umfang 
der Bodenfläche des gelben Kegels — den Kreis um 17 —, 
so berührt sie diesen in 23. Eine Ebene durch 18, o , s , 23 
wird daher den gelben Kegel nach der Mantellinie 23 — 18 
berühren, wie in 1. P. wahrzunehmen ist, und den blauen 
Kegel nach dem Dreieck uvo schneiden, wie in 3. P. zu er 
kennen ist. Dort bemerkt man auch das Schneiden von 
23—18 durch den Umfang von uvo in den Punkten VII 
und VIII. 
Man erhält durch die Verbindung der gefundenen Punkte 
einen Linienzug der Durchdringung und mithin ein An 
schneiden beider Kegel. 
Blatt 39. 
Durchdringung eines Prismas und eines Cylinders. 
Mit Verwendung von Lotebenen und von Ebenen 
parallel zu den Mantellinien beider Körper. 
Im Vorhergehenden haben wir beobachtet, daß die Durch 
dringung ebenflächiger Körper unter sich Linienzüge liefert, 
welche aus lauter geraden Stücken zusammengesetzt sind, 
und daß die Durchdringung krumm flächiger Körper unter 
sich im ganzen stetige Kurven ergiebt. Durchdringen sich