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Blatt 40. 
Die Kante di liefert die Punkte III und IV-, Kante 
eie die Punkte V und VI. Eine Ebene durch die Cylinder- 
mantellinien 14 — 16 und 13—15 schneidet den Cylinder 
nach dein Rechteck 14,16,15,13 und das Prisma nach dem 
Rechteck noqp. Es ergeben sich die Schnittpunkte VII, I 
VIII, IX und X Eine Ebene, welche den Cylinder nach 
der Mantellinie 2—6 berührt, liefert nur zwei Punkte XI und 
XII. Eine Ebene durch die Cylinder-Mantellinien 1 — 5 
und 3 — 7 ergiebt die Punkte XIII, XIV, XV und XVI 
u. s. w. 
Durch richtige Verbindung aller gefundenen Punkte ent 
steht ein gekrümmter Linienzug der Durchdringung mit sechs 
Knicken, da sich drei Prismenkanten an der Durchdringung 
beteiligen. Weil nur ein Linienzug vorhanden ist, schneiden 
sich die beiden Körper an. (Vergleiche auch Fig. 1 Bl. 37.) 
Fig. 2. Es ist die Durchdringung eines schiefen Kreis 
kegels mit einem schiefen vierseitigen Prisma zu zeichnen. 
Wir ziehen durch die Kegelspitze s eine Parallele zu 
den Prismenseitenkanten und bestimmen ihre 1. Sp. t. Auch 
überziehen wir den Kegelmantel mit einem System von 1 
IG Mantellinien. Alle Ebenen, welche durch eine Prismen 
seitenkante oder Kegelmantellinie gelegt werden, zugleich 
allen Prismenseitenkanten || sind und die Kegelspitze ent 
halten, haben 1. Sp. Sp., die durch t x gehen. t x ist daher 
ein Schlüsselpunkt. 
Ziehen Avir die 1. Sp. einer solchen Ebene durch t x und 
l x , so schneidet diese Ebene das Prisma nach einem Parallelo 
gramm 1, 9,10 und 5 und den Kegel nach einem Dreieck 
y<js. Das Schneiden der Umfänge beider Figuren liefert 
die Punkte I, II, IX und X. Eine Ebene durch die Kante 
3 — 7 schneidet das Prisma nach dem Parallelogramm 
3,7,12,11 und den Kegel nach dem Dreieck vivs; es er 
geben sich die Punkte III, IV, XI und XII 
Eine Ebene, welche den Kegel nach äs berührt, liefert 
die Punkte V und VI-, jene nach xs berührende die Punkte 
VII und VIII. 
Die richtige Verbindung der gefundenen Punkte liefert 
zwei getrennte Linienzüge, also liegt eine vollständige Durch 
dringung vor. Beide Linienzüge enthalten zusammen vier 
Knicke, da sich zwei Prismenkanten an der Durchdringung 
beteiligen. (Vergleiche auch Bl. 29.) 
Fig. 3. Es ist die Durchdringung einer Kugel mit j 
einem sechsseitigen regelmäßigen Prisma zu zeichnen. Die 
Achse des Prismas geht nicht durch den Mittelpunkt der 
Kugel. 
Eine Ebene durch die Prismenkanten ag und die 
schneidet die Kugel nach dem Hauptmeridian. Wo dessen 
2. P. von den 2. P.P. von ag und die geschnitten wird, sind 
die 2. P. P. der Punkte I, II, VII und VIII. 
Jede Prismenseite ausgedehnt schneidet die Kugel nach 
einem Kreise, von welchem jene Stücke der Peripherie, 
welche zwischen diesen Seitenkanten liegen, zugleich Teile 
des Linienzugs der Durchdringung sind. 
Da die beiden Seiten cf ml und beih des Prismas jj 
zur 2. T. sind, so zeigen sich in 2. P. diese Schnittkreise 
wirklich als Kreise und decken sich vollständig wegen der 
hier stattfindenden symmetrischen Anordnung, weil sich der 
Mittelpunkt n der Kugel in der Diagonalebene adleg des 
Prismas befindet. Wo die 2. P.P. der Prismenkanten bli, ci, el 
und fm durch die Umfänge dieser Kreise gehen, sind Punkte 
der Durchdringung wie III, IV, V, VI, IX, X, XI und 
XII. Die zwischen den Prismenkanten bh und ci sowie 
el und fm liegenden Stücke der Kreisumfänge sind Stücke 
der Linienzüge der Durchdringung. 
Die bis jetzt gefundenen zwölf Punkte der Durchdringungs 
kurve sind die Knicke, da es die Schnittpunkte der sechs 
Prismenseitenkanten mit der Kugeloberfläche sind. 
Um weitere Stücke der Durchdringungskurven zu er 
halten, legt man eine Ebene durch die Prismenseite afmg, 
welche ausgedehnt die Kugel ebenfalls nach einem Kreise 
schneidet. Da dieser Kreis aber schief zur 2. T. ist, projiziert 
er sich auf dieser als Ellipse. Diese Ellipse erhält man, 
wenn man in 1. P. die Hälfte des Kreises || zur 1. T. umlegt, 
Abscissen und Ordinateli einteilt, die Abscissenpunkte auf 
die 2. P. des Äquators hinaufprojiziert und die Ordinateli 
in wahrer Länge dort vom Äquator aus nach abwärts und 
aufwärts aufträgt und schließlich die sich ergebenden Punkte 
verbindet. Die zwischen den 2. P. P. der Seitenkanten ag 
und fm liegenden Stücke des Ellipsenumfangs gehören dem 
Linienzug der Durchdringung an. Sie decken genau die 
zwischen den Prismenkanten ag und bh befindlichen Kurven 
stücke. In gleicher Weise verfährt man auch bezüglich der 
Prismenseiten delle und ccllei, deren Stücke der Durch 
dringungskurven sich ebenfalls decken. 
Fig. 4. Gegeben sind ein gerader Kreiscylinder und 
eine fünfseitige Pyramide; gesucht ist ihre Durchdringung. 
Zieht man durch die Pyramidenspitze s eine Parallele 
(st) zur Cylinderachse und bestimmt den Schnittpunkt dieser 
Parallelen mit der ausgedehnten Deckfläche des Cylinders 
(Kreis um 18), so erhält man den Punkt t. Zieht man 
durch den Fußpunkt einer Pyramidenseiten kante z. B. a 
eine Parallele zu. st und sucht ebenfalls ihren Schnittpunkt 
mit der ausgedehnten Cylinderdeckfläche, so erhält man den 
Punkt 19. Es ist einleuchtend, daß eine Verbindung tl9 
in der ausgedehnten Deckfläche liegen muß, und man sieht, 
daß diese Linie den Umfang der Deckfläche nach den Punkten 
20 und 21 schneidet. 
Legt man nun durch s,t,a,19 eine Ebene, so ist sie zur 
Cylinderachse || und schneidet den Cylindermantel nach 
den Mantellinien 20 und 21. In derselben Ebene liegt auch 
die Pyramidenkante as und eine Mantellinie fs der Pyra 
mide. Es schneidet deshalb diese Ebene die Pyramide nach 
dem Dreieck afs und den Cylinder nach einem Rechteck 
mit den Mantellinien 20 und 21 als Kanten. Durch das 
Schneiden der Umfänge beider Figuren erhalten wir die 
Schnittpunkte I, II, XV und XVI. In gleicher Weise 
liefert jede Pyramidenseitenkante zwei Punkte, weshalb wir 
von fünf solchen Kanten zehn Knicke bekommen. 
Weitere Punkte der Durchdringungskurven erhält man, 
wenn durch st und eine Cylindermantellinie z. B. 8—17 eine 
Ebene gelegt wird. Dieselbe schneidet die ausgedehnte Deck 
fläche nach der Geraden 17 — 22, welche ihre 1. Sp. in 23 
hat, von wo wieder die 1. Sp. dieser Ebene ausgeht. Diese 
1. Sp. der Ebene trifft den Umfang der Pyramidenboden 
fläche in (j und h. Der Cylinder wird deshalb durch diese 
Ebene nach einem Rechteck mit den Ecken 17 und 22 und 
die Pyramide nach einem Dreieck ghs geschnitten. Die