18 
Blatt 3. 
Es genügt nicht, daß, wie bei Punkt b, nur seine 1. P. 
mit der 1. P. der Geraden zusammenfällt, seine 2. P. aber 
nicht. Der Punkt befindet sich lediglich in der 1. L.E. der 
Geraden, aber er liegt höher oder tiefer als diese. 
Fällt nur die 2. P. des Punktes mit der 2. P. der Ge 
raden zusammen, wie bei Punkt c, so liegt der Punkt ledig 
lich in der 2. L.E. der Geraden, aber vor oder hinter dieser. 
Daß sich Punkt a außerhalb der Geraden befindet, er 
kennt man ohne weiteres. 
Wir können daher aussprechen: Fällt ein Punkt mit 
einer Geraden zusammen, so muß seine 1. P. mit der 1. P. 
der Geraden, seine 2. P. mit der 2. P. der Geraden zu 
sammenfallen. In jedem anderen Falle befindet sich der 
Punkt außerhalb der Geraden. 
Ein Ausnahmefall ist dann vorhanden, wenn die Ge 
rade _L zur A. gerichtet ist. Hier können auch die gleich 
namigen P.P. des Punktes mit jenen der Geraden zusammen 
fallen, ohne daß der Punkt auf der Geraden sich befindet. 
Eine 8. P. wird hier Aufklärung verschaffen, ob der Punkt 
auf der Geraden oder außerhalb derselben liegt. 
Zwei gerade Linien im Raume können, wenn sie nicht 
zusammenfallen, sich entweder schneiden, sich kreuzen, oder 
parallel sein. 
Schneiden sich zwei Gerade, so haben sie einen Punkt 
gemeinsam, wie die Geraden 13 und C in Fig. 2 den Punkt 
e. Nach dem Vorigen muß daher e x auf und e 2 auf 
13 2 liegen. Punkt e liegt dann selbst auf der Geraden 13. 
Damit e auch mit C zusammenfällt, muß c x auf C t und e 2 
auf C 2 sein. Beide Bedingungen können gleichzeitig nur 
dadurch erfüllt werden, daß der Schnittpunkt von 13 2 und C 2 
— d. i. c 2 — 2- zur A. über dem Schnittpunkt von 13 t und 
C 1 — d. i. e l — liegt. Es ist dies in einem Bilde der dar 
stellenden Geometrie das Anzeichen dafür, daß sich zwei Ge 
rade im Raume schneiden. 
Sind zwei Gerade || , wie 1) und E in Fig. 3, so sind 
auch ihre 1. L.E L.E. || , und es müssen demnach auch die 
1. P.P. l) l und E 1 der Geraden || sein, da diese beiden 
Lotebenen von der 1. T. nach parallelen Geraden geschnitten 
werden. Aus demselben Grunde sind auch die 2. L.E. L.E. 
und damit auch die 2. P.P. J) 2 und E 2 der Geraden j|. 
Wir erkennen daraus, daß zwei gerade Linien im Raume 
sind, wenn nicht nur ihre 1. P. P., sondern auch ihre 
2. P.P. untereinander II sind. 
Sind aber die Schnittpunkte der gleichnamigen P.P. 
zweier Geraden nicht _L zur A. untereinander gelegen, und 
sind deren gleichnamige P.P. auch nicht || , so kreuzen sich 
die Geraden, d. h. sie gehen im Raume aneinander vorbei, 
ohne || zu sein und ohne sich zu schneiden, wie die Geraden 
F und Cr in Fig. 4. 
\ BgJL \ 
/ \n ! \ 
2.T. 
¥ 1\ 
y / ; i 
. / \ \N. i 
Ny«' | ! \ 
pvj ; pvj 
i iSs. 1 \ ! !\ 
\A 
; ! / / 
1 
i.Tj 
Punkte, welche wie f und g ohne zusammenzufallen 
gemeinschaftliche 1. P.P. haben, heißen Deckpunkte in 
Bezug zur 1. T.; Punkte, welche wie i und h ohne zu 
sammenzufallen gemeinschaftliche 2. P.P. haben, heißen 
Deckpunkte in Bezug zur 2. T. 
Wären von zwei Geraden die einen P.P. || , die anderen 
aber nicht, so wären lediglich ihre einen Lotebenen || , die 
Geraden selbst kreuzten sich. 
Wären zwei Gerade J_ zur A. gerichtet, so wären ihre 
gleichnamigen P.P. || , ohne daß aber die Geraden selbst not 
wendigerweise || sein müßten. Sie können sich in diesem 
Falle nicht schneiden, ob sie aber || sind oder sich kreuzen, 
darüber entscheidet erst eine 3. P. auf einer Kreuzrißtafel.