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Fig. 12. Eine Gerade liegt auch dann in einer Ebene, 
wenn sie einen Punkt in der Ebene bat und mit ihr 
|| ist. So befindet sich Gerade F in Ebene DF, da ihr 
Punkt c in DE liegt, und sie mit der Geraden E der 
Ebene || ist. c ist in der Ebene DE, weil es in deren 
1. Sp. D liegt. E ist die 2. Sp. der Ebene DE, deshalb 
auch eine Gerade der Ebene. F ist || E, da F x || E x 
( || zur A.) und F 2 || E 2 ist. Aus gleichen Gründen ist auch 
G in der Ebene DE gelegen, da sie ihren Punkt d in der 
Ebene hat und || ist zur 1. Sp. D der Ebene. 
Die Geraden F und G haben eine besondere Lage in 
der Ebene DE. Weil sie zu den Sp.Sp. der Ebene || laufen, 
nennt man sie Spurparallelen, und zwar heißt G eine 
1. Spurparallele, weil sie zur 1. Sp. D || ist, und F heißt 
eine 2. Spurparallele, da sie zur 2. Sp. E || ist. 
Die Spurparallelen sind sehr wichtige Linien einer Ebene, 
und werden wir in der Folge noch vielfach Gebrauch von 
ihnen machen. 
Man erkennt, daß eine 1. Spurparallele selbst keine 
1. Sp. hat, daß sie || zur 1. T. ist und eine 2. P. || zur 
A. hat. Eine 2. Spurparallele besitzt keine 2. Sp., sie ist || zur 
2. T. und hat eine 1. P. || zur A. Auch bemerkt man, 
daß eine 1. Spurparallele ihre 2. Sp. stets in der 2. Sp. 
der Ebene und eine 2. Spurparallele stets ihre 1. Sp. in 
der 1. Sp. der Ebene hat. 
Im allgemeinen schneiden sich die beiden Spurparallelen 
einer Ebene in einem Punkte, wie hier die F und G im 
Punkte q. 
Ist aber eine Ebene zur A. || oder X sie die A., so 
sind alle 1. Spurparallelen auch zugleich 2. Spurparallelen. 
Spurparallelen und Spurnormalen werden als Haupt 
geraden einer Ebene bezeichnet. 
Man kann allgemein den Satz aussprechen: Liegt irgend 
eine Gerade in einer Ebene, so hat sie ihre 1. Sp. in der 
1. Sp. der Ebene, ihre 2. Sp. in der 2. Sp. der Ebene; es 
müßte denn sein, daß diese Gerade auch zu einer T. || läuft 
(d. h. eine Spurparallele ist), in welchem Falle ihre bezüg 
liche Spur nicht vorhanden ist, oder mit anderen Worten 
sich in unendlicher Entfernung befindet. Fällt aber die 
gleichnamige Sp. einer Geraden nicht in die einer Ebene, so 
kann die Gerade auch nicht in dieser Ebene liegen. 
Eine Gerade ist zu einer Ebene || , wenn sie zu einer 
Geraden in der Ebene || läuft. So ist hier Gerade II zur 
Ebene DE || , weil sie || zur Geraden F der Ebene ist. 
(7/, ist || F x , 77 2 ist || F 2 .) 
Ist eine Ebene auf einer T. _L, so projiziert sie sich 
auf dieser als Gerade, wie in Fig. 13 die Ebene IK , 
welche _L zur 2. T. ist, daTj _L zur A steht. In einem solchen 
Falle sieht man ohne weitere Untersuchung, ob sich eine Ge 
rade in der Ebene befindet oder nicht, da jedes Gebilde, das 
in der Ebene liegt, seine entsprechende P. in jener P. der 
Ebene haben muß, in welcher sich diese als Gerade projiziert. 
So liegt hier Gerade I in Ebene IK, da L 2 in K 2 liegt, 
einerlei welche Lage L x besitzt. M liegt nicht in Ebene 
IK, da M 2 außerhalb K 2 fällt; doch ist hier Gerade M zur 
Ebene IK || , da M 2 || K 2 ist. Bei einer anderen Lage der 
Ebene kann man sich durch eine entsprechende 3. P. die 
selbe Aufklärung verschaffen. 
Befindet sich eine Gerade nicht in einer Ebene und ist 
auch nicht || zu ihr, so schneidet sie dieselbe und zwar in 
einem Punkte. Dieser Punkt ist der Geraden und der 
Ebene gemeinsam, und es ist eine wichtige Aufgabe der dar 
stellenden Geometrie, für verschiedene Lagen den Schnittpunkt 
einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen. 
In Fig. 14 ist eine Ebene N0 -L zur 1. T. durch 
ihre Sp.Sp. und eine Gerade P, welche die Ebene schneidet, 
durch ihre P.P. gegeben; gesucht ist der Schnittpunkt x. 
Punkt x ist der Ebene NO und der Geraden P gemein 
sam. Er muß daher seine 1. P. in N x haben, wie jeder 
Punkt der Ebene NQ; x x muß aber auch in P x liegen, wie 
es bei jedem Punkt der Geraden P zutrifft. Es kann dem 
nach x x kein anderer Punkt sein, als der Schnittpunkt von 
N x und P x ; _L zur A. über x x und in P 2 muß x 2 liegen. 
Mithin ist Punkt x gefunden. 
In Fig. 15 ist eine Ebene Q, welche die A. X> durch 
drei P.P. gegeben, sowie eine Gerade II; gesucht ist der 
Schnittpunkt x. Man führt die Aufgabe auf die vorher 
gehende Fig. 14 zurück, indem man auch von P die 3. P. 
bestimmt. Der Schnittpunkt von und P 3 ist das gesuchte