Blatt IS. 
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Wird nun durch Probieren mit dem Zirkel (fortgesetztes ist der der Kegelachse zur schneidenden Ebene <<( als 
Halbieren) der Bogen in 10 gleiche leile geteilt, so ist ein 90°, aber als der ^ einer Erzeugenden zur Kegelachse, 
einzelner Teil so genau in die Abwickelung übertragen, als Bei dem Parabelschnitt ist der •=£ der Kegelachse zur sclinei- 
wenn er auch berechnet wäre. 
Hierdurch erhalten wir die Lagen der einzelnen Mantel 
linien, auf welchen durch eine Konstruktion, wie bei Blatt 10, 
die wahren Längen der Abschnitte aufzutragen sind: 
al — a 2 I, III— c 2 (II), 2111 = c 2 (III), 3IV— c 2 (IV) u.s.w. 
Durch Verbindung der so bestimmten Punkte erhalten 
denden Ebene gleich dem einer Erzeugenden mit der 
Kegelachse. Bei dem Hyperbelschnitt ist der ^ der Kegel 
achse zur Schnittebene <f als der einer Erzeugenden zur 
Kegelachse. Die Schnittebene kann in letzterem Falle auch 
den 3C 0° zur Kegelachse bilden, d. h. sie ist zu ihr || . 
Zur genauen Betrachtung dieser Kurven muß auch der 
wir die Verwandelte I I des Ellipsenumfanges auf dem Gegenkegel berücksichtigt werden, und erkennt man, daß der 
abgewickelten Kegelmantel. 
Ellipsenschnitt (auch der Kreisschnitt) und der Parabelschnitt 
Der Umfang des oberen Schnittkreises wickelt sich als den Gegenkegel nicht treffen, wohl aber der Llyperbelschnitt; 
ein Kreisbogen aßyda mit dem Radius sa = s 2 a ab. 
Schließlich sind noch der Grundkreis, die Schnittellijxse 
und der Schnittkreis der Abwickelung beigegeben. 
Man erkennt, daß sich der Mantel des Kegelstumpfes 
dabei in Form eines Kreisringsektors abwickelt. 
Blatt 12. 
Kegelschnitte. 
mithin ist die Hyperbel eine zwei ästige Kurve, deren einer 
Ast auf dem Kegel, der andere auf dem Gegenkegel liegt. 
Die vorgenannten Kurven sind von höchster Wichtigkeit. 
Ein großer Teil der mathematischen Wissenschaft beschäftigt 
sich mit der Untersuchung dieser Kegelschnitte. 
Es ist einleuchtend, daß in den Grenzlagen diese Kurven 
ineinander übergehen. 
In Fig. 1 ist ein gerader Kreiskegel durch eine Ebene 
MN nach einer Ellipse und durch eine Ebene OP nach 
einem Kreis geschnitten. Von beiden Kurven sind die P.P. 
und von der Ellipse die wirkliche Größe (durch Umklappen 
in die 2. T.) konstruiert. 
In Fig. 3 ist die Abwickelung des Kegelmantels ge 
zeichnet, und sind in denselben die Verwandelten der Ellipse 
und des Kreises eingetragen (gemäß der Anleitung zu Bl. 11). 
Gelegentlich der Besprechung des vorhergehenden Blattes 11 
haben wir gesehen, daß durch das Schneiden eines geraden 
Kreiskegels mittelst einer Ebene eine Ellipse oder auch 
ein Kreis entstehen kann. Es können aber dabei noch 
andere Kurven erscheinen, und es lassen sich überhaupt 
folgende Fälle unterscheiden: 
1. ) Trifft die schneidende Ebene sämtliche 
Mantellinien des Kegels in endlicher Ferne, oder 
ist sie zu keiner derselben parallel, so entsteht 
eine geschlossene Kurve — eine Ellipse —; 
im besonderen Falle ein Kreis, wenn die 
Ebene zur Kegelachse senkrecht gerichtet ist. 
Fig. 1. 
Je näher die Schnittebene der Kegelspitze 
rückt, desto kleiner werden dabei Ellipse oder 
Kreis, bis sie sich endlich mit der Spitze in 
einen Punkt zusammenziehen. 
2. ) Trifft die schneidende Ebene nicht alle 
Mantellinien in endlicher Ferne, sondern eine 
derselben in unendlicher Ferne, oder ist die 
Ebene zu einer Mantellinie parallel, so entsteht ^~ 3 ~ 
eine offene Kurve — die Parabel. Fig. 2. 
Die Parabelebene ' ist parallel zu einer 
Tangentialebene des Kegelmantels. Je näher 
die Schnittebene der Kegelspitze rückt, desto 
spitzer wird die Parabel, bis sie sich endlich 
bei Erreichen der Spitze in eine Mantellinie 
zusammenzieht. 
3. ) Trifft die schneidende Ebene nicht alle Mantellinien Man erkennt nun folgende Thatsache: 
in endlicher Ferne, sondern zwei derselben in unendlicher Steckt man in den Kegel zwei Kugeln, welche seinen 
Ferne, oder ist die Ebene zu zwei Mantellinien parallel, so ent- Mantel (von innen nach Kreisen) und die Schnittebene be 
steht eine offene Kurve — die Hyperbel. Fig.Fig. 4 und 5. rühren, so sind die Berührungspunkte der Kugeln an der 
Je näher die Schnittebene zur Kegelspitze rückt, um so Schnittebene die Brennpunkte (B, B) der Ellipse. Für den 
spitzer wird die Hyperbel, und sie geht im besonderen Falle, Kreisschnitt fallen beide Punkte in einen — den Kreis 
wenn die Ebene durch die Spitze geht, in zwei sich schnei- mittelpunkt — zusammen. Er ist der Schnitt der Kegei 
dende Geraden über. achse mit der Kreisebene. 
Bei dem Kreisschnitt bildet die Kegelachse zur schnei- In der 1. P. ist s t — die 1. P. der Kegelspitze — der 
denden Ebene einen rechten <£. Bei dem Ellipsenschnitt eine Brennpunkt der Ellipse. Den anderen Brennpunkt s' 
C. Alberti, Darstellende Geometrie. 7