50 
Blatt 13. 
findet man durch Symmetrie. Für den Kreis ist s 1 der 
Mittelpunkt der 1. P. 
Soll in einem Punkte der Schnittellipse z. B. XI eine 
Tangente an diese gelegt werden (welche zugleich auch eine 
Tangente an der Kegelfläche in diesem Punkte ist), so ist 
sie die Schnittlinie der Ellipsenebene (MN) mit einer 
Ebene, welche den Kegelmantel nach der Mantellinie E 
(durch XI) berührt. Die Berührungsebene EU ist bestimmt 
durch die Mantellinie E und eine Tangente E im Punkte 11 
an dem Grundkreis. E ist die 1. Sp. der Ebene EE. Durch 
den Schnittpunkt r der Sp.Sp. M und E muß T gehen, 
mithin ist T die gerade Verbindungslinie r — XI. Mit Hülfe 
von r kann die Tangente auch in die Abwickelung übertragen 
werden. Man zieht dort an 11 eine Berührungslinie E, macht 
11—r = ll x — )\ und verbindet r mit XI. 
Die Wendepunkte x und y der Ver 
wandelten der Ellipse findet man, wenn 
J_ zur Schnittebene MN (in Fig. 1) Tan 
gentialebenen an die Kegelfläche gelegt 
und die Schnittpunkte ihrer Berührungs 
linien (an der Kegelfläche) mit dem Um 
fang der Ellipse bestimmt werden. Man 
hat dazu von s eine Senkrechte (die 
Schnittlinie beider Tangentialebenen) auf 
Ebene MN zu fällen und ihre 1. Sp. t 
zu bestimmen. Von t x zieht man Tan 
genten an den Grundkreis und erhält u 
und v als Berührungspunkte. Hierzu er 
geben sich die Erzeugenden us und vs, 
und wo diese den Ellipsenumfang schnei 
den, sind x und y. Überträgt man x und 
y in die Abwickelung, so sind sie die 
Wendepunkte der Verwandelten. In 
ihnen ändert die Kurve den Sinn ihrer 
Krümmung von der konvexen (erhabenen) 
nach der konkaven (hohlen) Seite. 
Die Verwandelte des Kreises besitzt 
keinen Wendepunkt, da sie stets nach 
einer Richtung gekrümmt ist. Eine Tan 
gente an den Schnittkreis in einem be 
stimmten Punkte zu konstruieren, wäre wie in der ebenen 
Geometrie zu bewerkstelligen; ebenso auch ihre Konstruktion 
in der Abwickelung. 
In Fig. 2 ist durch das Schneiden der Ebene QE 
eine Parabel erzielt worden. QE ist zur Mantellinie 1s ! . 
Die 2. P. der Parabel ist geradlinig. Die 1. P. ist ebenfalls 
eine Parabel, welche erhalten wird, wenn man die Mantel 
linien verwendet, oder genauer, wenn ein System von Paral 
lelkreisen(hier in Abständen von je 10 mm) auf den 
Kegelmantel gelegt und die Schnittpunkte der Ebene QE 
mit diesen Parallelkreisen bestimmt werden. Die Verbindung 
ihrer 1. P.P. ergiebt die 1. P. der Parabel. 
Die wirkliche Gestalt der Parabel erhält man durch ein 
Umkanten ihrer Ebene um Q in die 1. T. 
Um die Parabel in die Abwickelung Fig. 3 zu über 
tragen, zeichnen wir zuerst die Verwandelten der Parallel 
kreise ein, welche sich als konzentrische Kreisbögen um s * 
* Diese Parallelkreise erscheinen in 2. P. als Parallelen zur A., 
in 1. P. als konzentrische Kreise um s,. 
darstellen, mit Radien, deren Länge man aus der 2. P. 
Fig. 2 an den Mantellinien 1 — s 2 oder 7 — s 2 abgreift. Die 
einzelnen Punkte bekommt man, wenn auf den 1. P.P. der 
Parallelkreise in Fig. 2 mit kleinen Teilen die Abstände 
der mit römischen Nummern bezeichneten Parabelpunkte 
von den nächsten Mantellinien gemessen und in der Ab 
wickelung Fig. 3 auf den abgewickelten Parallelkreisen auf 
getragen und durch eine Kurve verbunden werden. 
Soll in einem beliebigen Punkte der Parabel z. B. VIII 
eine Tangente an sie gezogen werden, so konstruiert man 
die Berührungslinie E' für den Fußpunkt 6 der betreffenden 
Mantellinie. Diese mit der Erzeugenden 0—s bildet eine 
Tangentialebene an dem Kegelmantel, welcher von ihr nach 
der Erzeugenden G—s berührt wird. Die Tangente ist nun 
die Schnittlinie dieser Berührungsebene mit der Parabelebene 
und wird gefunden, wenn man den Schnittpunkt ihrer 
1. Sp. r mit dem Punkt VIII verbindet. Die 1. P. von 
T' verbindet r/mit VIII l ; die 2. P. fällt mit der 2. P. der 
Parabel zusammen; die Umklappung ist T' , das r mit 
VIII' verbindet. In der Abwickelung wird in 6 eine Be 
rührungslinie an die Verwandelte des Grundkreises gezogen, 
auf ihr 6r aufgetragen und r mit VIII verbunden. Die 
Normale N' steht im Punkte VIII’ auf der umgelegten Tan 
gente T' _L; wird sie um ihren Schnittpunkt mit Q l gedreht, 
bis sie in die Ebene der Parabel fällt, so erscheint sie als 
N t ' in 1. P. als Verbindungslinie dieses Schnittpunkts mit 
VIII'. Ihre 2. P. fällt in die 2. P. der Parabel. In der 
Abwickelung erscheint sie als Punkt N, da sie auf der 
Kegelfläche _L steht. 
Man erkennt noch folgende Thatsache: 
Steckt man in den Kegel eine Kugel (es ist nur eine 
Kugel möglich), welche den Kegel (von innen nach einem 
Kreise) und die Parabelebene berührt, so ist der Berührungs 
punkt mit der Parabelebene der Brennpunkt (B) der Parabel. 
Läßt man die Ebene des Berührungskreises von Kugel