Blatt 17.
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gehend, zu den D. A. D.A. können auch diese Eckpunkte in
die Umklappungen übertragen werden. Es wird sich bei
diesen Punkten empfehlen, da die schneidenden Geraden
etwas flach gegeneinander liegen, eine Kontrolle dadurch
vorzunehmen, daß alle Seitenkanten an der Spitze s fest-
gehalten, || zur 2. T. gedreht, und die Abstände der Eck
punkte von der Spitze, auf den Seitenkanten gemessen, in
wirklicher Größe in 2. P. bestimmt werden.
Schließlich ist bei dem Netze die Übereinstimmung der
gleichen Längen durch Kreisbögen nachgewiesen.
In Fig. 3 ist zunächst die Pyramide in einer Anfangs
stellung (gestrichelt) gezeichnet, wie man sie erhält, wenn
man von Stellung Fig. 1 ausgehend, eine wagrechte Drehung
vornimmt, bis die Seite cds -1 zur 2. T. gerichtet ist.
Es soll mit Benutzung der Grundkante cd als D.A.
ein Umkippen der Pyramide erfolgen, bis sie mit der Seite
cds auf der 1. T. aufruht. In dieser Lage soll die Pyra
mide durch ihre P.P. gezeichnet werden.
Die 2. P. bleibt im Bilde unverändert, sie wird ledig
lich so gedreht, bis eine Kante der Bildkontur in die A.
fällt. Von oben gesehen erscheinen die zurückgelegten Wege
der Punkte bei der Drehung als Senkrechten zu c x d x ; von
vornen gesehen als konzentrische Kreisbögen, um c 2 d 2 als
Mittelpunkt u. s. w.
Diese neue Stellung soll benutzt werden, um durch
seitliches Abrollen des Pyramidenmantels eine Abwickelung
desselben zu erhalten, wobei man ihn als an der Kante as
aufgetrennt betrachtet. Die wahre Größe der Seite cds (mit
III — IV) ist bereits vorhanden. Die Seite bcs (mit Punkt II)
wird mit Benutzung von cs als D.A. in die 1. T. umge
klappt; ebenso wird auch Seite des (mit Punkt V) um ds
als D.A. in die 1. T. umgelegt. Die Seiten abs und aes
setzt man geometrisch zusammen, indem man die vorhande
nen Kanten bs und es, sowie ab und ae (aus a x b x und
a x e x ) verwendet. Die fehlende Kante as (mit dem auf An
liegenden Punkte I) bestimmt man durch Festhalten in s
und Paralleldrehen zur 2. T. Giebt man noch die Boden
fläche (abede) hinzu, so ist das Netz der Pyramide voll
ständig.
In Fig. 4 ist die Pyramide in einer Anfangsstellung
gezeichnet (gestrichelt), wie man sie erhält, wenn man aus
Fig. 1 die 1. P. hier als 2. P. und die dortige 2. P. hier
als 1. P. aufträgt, wobei aber auf die Bezeichnungen wohl
zu achten ist, damit man auch wirklich die nämliche Pyra
mide wie früher hat.
Außer der Pyramide ist noch eine Ebene JE durch ihre
2. Sp. G und ihren N.W. zur 2. T. = 60° gegeben. Es
wird die Aufgabe gestellt, mit Benutzung von G als D.A.
die Pyramide so zu kippen, daß ihre Bodenfläche aus der
2. T. herausgehoben und in die Ebene E gebracht wird.
In dieser Stellung ist die Pyramide durch ihre P.P. zu
zeichnen.
Wir stellen eine 3. T. _L zu G auf und projizieren die
Pyramide in anfänglicher Stellung auf dieselbe. Nun legt
man die 3. T. in die 2. T. um und nimmt mit der 3. P.
die entsprechende Drehung vor. Zu dieser 3. P. in neuer
Lage findet man die zugehörige 2. P., wenn man von den
früheren 2. P.P. aller Eckpunkte Senkrechten zur D.A. und
von den neuen 3. P.P. Parallelen zur D.A. zieht; wo sich die
zusammengehörigen Linien schneiden, sind die neuen 2. P.P.
der Eckpunkte, welche entsprechend zu verbinden sind.
Senkrecht zur 1. A. unter den neuen 2. P.P. sind die
neuen 1. P.P., wobei die Entfernungen aller Punkte unter
der 1. A. gleich den Abständen der 3. P.P. von der 2. A.'
anzutragen sind.
Blatt 17.
Schiefer Kreiskegel in verschiedenen Stellungen.
Zugleich Schneiden desselben durch eine Ebene.
Bei dem in Fig. 1 dargestellten Kegel ist die Bodenfläche
ein Kreis; deshalb ist es ein Kreiskegel. Weil aber seine
Höhe nicht mit seiner Achse zusammenfällt (oder weil der
Höhenfußpunkt nicht mit dem Mittelpunkt o x der Boden
fläche zusammenfällt), ist es ein schiefer Kreiskegel. Er
soll durch eine Ebene AE geschnitten werden.
Wir nehmen auf dem Kegelmantel ein System von
12 Mantellinien an, wobei die Einteilung des Umfangs der
Bodenfläche in 12 gleiche Teile von den Enden des © durch
o x s x ausgeht. Hierdurch kann man den Kegel als eine
zwölfseitige Pyramide auffassen, und ist die Konstruktion der
Schnittfigur in dreifacher Weise genau nach dem Vorbilde
von Fig. 1 Blatt 16 geschehen. Die gefundenen Punkte
sind aber hier durch Kurven zu verbinden. Die Bestimmung
der wirklichen Größe der Schnittfläche erfolgte durch Um-
klappung in die 3. T.
Bezüglich der Affinität und Collineation der Schnittfigur
zur Bodenfläche gilt alles für die Pyramide Bl. 16 Ausge
sprochene; nur hat man anstatt der dortigen Kanten, Dia
gonalen und Transversalen der Schnittfigur, hier Sehnen,
Sekanten und Tangenten zu setzen.
Um zur Stellung Fig. 2 zu gelangen, wurde eine
Drehung || zur 2. T. vorgenommen, bis die Bodenfläche einen
N.W. von 30° zur 1. T. bildet. In dieser Stellung ist der
Kegel gezeichnet.
Bei der Konstruktion der 1. P. hat man zunächst die
1. P.P. von Bodenfläche und Spitze zu bestimmen und dann
von s x Tangenten an den Umfang der 1. P. der Bodenfläche
zu ziehen. Diese Tangenten beteiligen sich bei der Bildkon
tur in 1. P.
Nach Stellung Fig. 3 gelangt man durch eine Dreh
ung || zur 1. T. In Fig. 2 ist die 1. P. mit einem Recht
eck umschlossen, und dieses Rechteck ist mit der Kegel
projektion so nach Fig. 3 übertragen worden, daß sich die
eine Kante der Bildkontur _L zur A. stellt. Eine gleiche
Beobachtung macht man bei der neuen 2. P., welche aus
der neuen 1. P. und der 2. P. in Fig. 2 in bekannter
Weise bestimmt wurde. In dieser Stellung kommt zum
erstenmal die Bodenfläche zur Ansicht.
In Fig. 4 ist eine anfängliche Stellung des Kegels (ge
strichelt) gezeichnet, welche man erhält, wenn man in
Stellung Fig. 1 eine kleine Drehung || zur 1. T. vornimmt,
bis der © ag der Basis || zur A. geworden ist. Die 1. P.
bleibt dabei im Bilde unverändert, die 2. P. muß erst kon
struiert werden.
Nun soll der Kegel so umgekippt werden (|| zur 2. T.),
bis er sich mit seiner Mantellinie gs auf die 1. T. legt.
Dabei bleibt die 2. P. im Bilde unverändert, die neue 1. P.
wird in bekannter Weise konstruiert. Von dieser Stellung
