62 
Blatt 1®. 
aus soll der Kegelmantel durch seitliches Abrollen abgewickelt 
werden. 
Der Mantel eines geraden Kreiskegels würde sich hier 
bei als Kreissektor abwickeln, nicht so aber der eines schiefen 
Kreiskegels, da hier die Verwandelte des Basisumfanges 
nicht wie dort einen Kreisbogen, sondern eine Kurve ergiebt, 
welche sich unserer genauen Betrachtung entzieht. Wir 
können deshalb nur annähernd eine Abwickelung des Kegel 
mantels vornehmen und zwar dadurch, daß wir ihn als 
Mantel einer zwölfseitigen schiefen Pyramide betrachten und 
für jeden der 12 Teile des Basisumfanges anstatt des Bogens 
die Sehne nehmen. Hierdurch würde aber der Mantel zu 
klein ausfallen. Eine Verbesserung kann wieder erfolgen, 
wenn anstatt der gemessenen Sehne die gerechnete Länge eines 
Zwölftels des Basisumfanges mit: 
2-35-3,14 
12 
— 18,32 mm 
geradlinig verwendet wird. 
Es erfolgt nun folgende Konstruktion: Man bestimmt 
von allen Mantellinien in 2. P. die wahren Längen, indem 
man sie in s festhält und sie || zur 2. T. dreht. Mit den 
gefundenen Längen beschreibt man von (s) aus konzentrische 
Kreisbögen. Faßt man nun 18,3 mm in den Zirkel und 
trägt, von g x ausgehend, beiderseits diese Länge von Bogen 
zu Bogen fortschreitend auf, so erhält man die Punkte 
(f), (e), (d), (c),(b), (a) und (h),(i),(1e),(l),(m),(a) und durch ihre 
Verbindung die Verwandelte des Basisumfanges recht genau. 
Zu allen diesen Punkten werden die Mantellinien gezogen 
und auf ihnen, von (s) ausgehend, die bei dem Paralleldrehen 
(zur 2. T.) gleich mitbestimmten Abstände der Ellipsenpunkte 
auf den Mantellinien, von der Spitze gemessen, aufgetragen. 
Deren Verbindung giebt die Verwandelte des Umfanges der 
Schnittellipse (I) bis (I). Fügt man dem abgewickelten 
Mantel noch die Basis hinzu, so ist das Netz der Oberfläche 
des Kegels vollständig. 
Bei einem geraden Kreiskegel ergiebt der Schnitt einer 
Ebene J- zur Kegelachse einen Kreis, dessen Verwandelte in 
der Abwickelung als Kreisbogen erscheint, da alle Punkte 
seines Umfanges von der Kegelspitze gleichweit entfernt sind. 
Man kann diesen Schnitt nach dem Vorbilde des Cylinders 
als Normalschnitt bezeichnen und ihn bei dem Abwickeln 
des Kegelmantels mit Vorteil verwenden. 
Bei einem schiefen Kreiskegel aber wird ein Kreis 
schnitt ({| zur Basis) sich nicht als Kreisbogen abwickeln, da 
die Punkte seines Umfangs von der Spitze ungleiche Entfer 
nungen haben. Die Verwandelte ergiebt eine Kurve, welche 
sich unserer Betrachtung entzieht. 
Stellt man bei einem schiefen Kreiskegel eine Ebene _L 
zur Kegelachse, so schneidet sie die Mantelfläche nach einer 
Ellipse, welche ebenfalls als Normalschnitt bezeichnet 
werden kann, aber bei der Abwickelung nicht verwendbar 
ist, da aus demselben Grunde wie vorher ihr Umfang sich 
nicht als Kreisbogen abwickelt. 
In Fig. 5 ist der Kegel zunächst mit seiner Boden 
fläche auf die 2. T. gestellt, und es sind hierzu die beiden 
anfänglichen P.P. der Fig. 4 benutzt worden, in der Art, 
daß das Bild der 1. P. Fig. 4 hier die 2. P., jenes der 2. P. 
Fig. 4 hier die 1. P. gab. Außer dem Kegel ist noch eine 
Ebene E vorhanden, durch ihre 2. Sp. E 2 und ihren N.W. 
= 60° zur 2. T. gegeben. Es soll der Kegel auf diese, zur 
2. T. schief stehende Ebene E projiziert und das sich er 
gebende Bild durch Umklappen der Ebene E in die 2. T. 
zur Anschauung gebracht werden. 
Als Hülfsmittel führen wir eine 3. T. ein J_ zu E 2 (und 
damit auch J_ zur Ebene E und zur 2. T.), auf welcher sich 
die Ebene E als Gerade E 3 unter dem wahren N.W. von 
60° projiziert. Bezeichnen wir die Ebene E als 4. T., so 
wird sich jedes Lot von irgend einem Kegelpunkte auf die 
4. T. in der 3. P. als eine Senkrechte, von der 3. P. dieses 
Kegelpunktes aus auf E 3 projizieren, z. B. die Senkrechte von 
s nach E als s 3 (s 4 ), jene von h nach E als /¿ 3 (h A ). Die 3. P. 
des verlangten Bildes (der 4. P.) wird daher als eine Strecke 
(b ±)— (s A ) erscheinen. Wird nun die Ebene E in die 2. T. 
umgeklappt, so macht diese Strecke die Drehung, um (E 2 ) 3 
als Mittelpunkt, mit, bis sie in die 2. A. zu liegen kommt. 
Zu dieser neuen 3. P. (s 4 ) 3 ' (h 4 ) 3 ’ 0h) 3 sind für alle Kegel 
punkte Senkrechten zur 2. A. zu ziehen. Wo diese sich mit 
den Senkrechten von den zugehörigen 2. P.P. zu E 2 schnei 
den, befinden sich die in die 2. T. umgeklappten 4. P. P. 
der Punkte, deren richtige Verbindung das gewünschte Bild 
liefert. 
Blatt 18. 
Kreuz in verschiedenen Stellungen. 
Die Zeichnung eines Körpers nach dem System der 
darstellenden Geometrie soll denselben so vollständig wieder 
geben, daß völlige Klarheit über seine Gestalt herrscht. 
Hierzu ist es nötig, Drehungen mit dem Körper vorzunehmen, 
bis alle seine Seiten in der Zeichnung sichtbar werden. 
Man wählt, wie wir im Vorhergehenden gesehen haben, 
als Ausgang eine einfache Stellung des Körpers zu den T.T., 
von welcher ohne Schwierigkeit die P.P. zu zeichnen sind, 
und nimmt dann Drehungen mit dem Körper vor, immer 
zu einer T. || , damit das Bild der einen P. erhalten 
bleibt und unverändert in die neue Stellung übertragen 
werden kann. In dieser Weise gelingt es, nach und nach 
alle Seiten des Körpers zur Anschauung zu bringen. 
Im vorliegenden Falle ist als darzustellender Körper ein 
Kreuz gewählt. 
Das Blatt soll aber auch als ein Beispiel dafür dienen, 
wie von einem schon vorhandenen Körper eine Zeichnung 
der darstellenden Geometrie anzufertigen ist. Es wird daher 
angenommen, daß sowohl von dem Kreuz, als auch von dem 
Tafelsystem Modelle vorrätig sind; von dem Kreuz am besten 
in derselben Größe wie auf vorliegendem Blatte. 
Nun sollen in Wirklichkeit mit dem Kreuze alle Dreh 
ungen ausgeführt werden, welche das Blatt vorschreibt, und 
es soll dadurch der Lernende 'Gelegenheit haben, den Zu 
sammenhang der Zeichnung der darstellenden Geometrie mit 
dem aufzunehmenden Körper recht gründlich zu erfassen. 
Für einige der Stellungen des Kreuzes ist es erforderlich, 
dasselbe so zu stützen, daß es in der gewünschten Lage 
stehen bleibt. 
Wir stellen das Kreuz zunächst auf der 1. T. so auf, 
daß es mit zwei Seiten (der Vorder- und der Rückseite) zur 
2. T. || ist. In dieser Stellung Fig. 1 gelingt es leicht, 
seine P.P. zu zeichnen. Nun drehen wir das Modell in 
wagrechtem Sinne, bis die nämlichen beiden Seiten N.W.