Blatt IO. 
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N.W. von 30° zur 2. T. bilden. Es ergiebt sich Füg. 2. 
Durch ein Umkippen || zur 2. T. erhält man die Stellung 
Fig. 3. 
Nimmt man, von der Stellung Fig. 1 ausgehend, eine 
Drehung || zur 1. T. vor, bis die beiden erwähnten Seiten 
zur 2. T. senkrecht sind, so ist dies die Stellung Fig. 4. 
Durch ein Neigen || zur 2. T. ergiebt sich Stellung Fig. 5. 
Hier erscheint die bisher unsichtbare Rückseite zum ersten 
mal von oben gesehen. Es erfolgt eine Drehung im wag 
rechten Sinne in die Stellung Fig. 6, und von dieser ge 
langt man durch Neigen || zur 2. T. zur Stellung Fig. 7. 
Mit großer Aufmerksamkeit sind die Buchstaben, welche 
die Eckpunkte bezeichnen, durch alle Figuren zu verfolgen, 
und es ist darauf zu achten, daß sie stets an die richtige 
Stelle gesetzt werden. 
Blatt 19. 
Tetraeder (regelmäßiges Vierflach), Hexaeder (regel 
mäßiges Sechsflach oder Würfel) und Oktaeder (regel 
mäßiges Achtflach). 
Unter den geometrischen Körpern sind die streng regel 
mäßigen Körper von besonderem Interesse. 
Sie haben die gemeinsame Eigenschaft, daß ihre Seiten 
kongruente regelmäßige Polygone und ihre Flächenwinkel 
alle untereinander gleich sind. An jeder Ecke stößt die 
gleiche Anzahl von Polygonen zusammen. 
Man kann um jeden solchen Körper eine Kugel be 
schreiben, welche durch alle Ecken geht — die um 
geschriebene Kugel —; eine zweite Kugel kann konstruiert 
werden, welche alle Seiten in ihren Mittelpunkten berührt 
— die eingeschriebene Kugel —; auch giebt es noch eine 
dritte Kugel, welche alle Kanten in ihren Mittelpunkten 
berührt — die angeschriebene Kugel. 
Diese drei Kugeln haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, 
welcher zugleich der Mittelpunkt des Körpers ist. Ihre 
Radien werden als Ecken-, Seiten- und Kantenradius 
unterschieden. 
Jede Körperdiagonale, welche zugleich auch Durchmesser 
der umgeschriebenen Kugel ist, heißt Hauptdiagonale; 
die übrigen Nebendiagonalen. Alle Hauptdiagonalen sind 
gleich lang. 
Die Summe der Kantenwinkel an einer Körperecke muß 
stets kleiner als 360° sein, da die Körperoberfläche bei 360° 
in eine Ebene überginge. Ein solcher Körper kann daher 
nur von regelmäßigen Dreiecken, Vierecken oder Fünfecken 
begrenzt sein. Auch folgt hieraus, daß an einer Ecke nur drei, 
vier oder fünf regelmäßige Dreiecke, drei solche Vierecke oder 
drei solche Fünfecke zusammenstoßen können. 
Den vorgenannten Eigenschaften genügen nur fünf Körper. 
Sie heißen die regelmäßigen oder regulären Polyeder, 
auch platonischen Körper. Jeder derselben ist durch 
eine Kante bestimmt. 
1.) Das regelmäßige Tetraeder oder Vierflach. 
Seine Oberfläche besteht aus vier kongruenten regulären 
Dreiecken. Es besitzt vier Ecken und sechs Kanten. An 
jeder Ecke stoßen drei Dreiecke zusammen. Jeder Kanten 
winkel = 60°; die Summe der Kantenwinkel an jeder Ecke 
; ist 180°. Jeder Seitenwinkel ist 70°31'43,6"; der Neigungs 
winkel einer Kante zur anstoßenden Seite ist 54°44'8,2". 
Das Vierflach kann, wie die Fig. Fig. 1 — 4 zeigen, in 
seinen P. P. als ein regelmäßiges oder gleichschenkliges Dreieck, 
als ein Quadrat oder Antiparallelogramm erscheinen. 
Die Mittelpunkte der Tetraederseiten sind die Ecken 
eines neuen Tetraeders. 
In Fig. 1 sitzt der Körper mit seiner Basis auf der 
1. T. auf. Die 1. P. der Spitze 4 ist der Mittelpunkt des 
Dreiecks 1, 2, 3. Schneidet man den Körper durch eine 
Ebene _L zur 1. T., durch die Kante 3—4 gehend, so ergiebt 
die Schnittfigur, in die 1. T. umgeklappt, ein gleichschenkliges 
Dreieck (. 3 — 4' ist = 3 — 2), welches zum einen Schenkel die 
Seitenhöhe des Körpers (= der Höhe eines regulären Drei- 
^ ecks) hat. Die Höhe 4 — 4’ des Dreiecks liefert die Höhe 
des Körpers, mit deren Benutzung seine 2. P. zu kon 
struieren ist. 
Nach Stellung Fig. 2 gelangt man durch eine Drehung 
in horizontalem Sinne; von dieser zur Stellung Fig. 3 
durch eine Drehung in vertikalem Sinne und von ihr durch 
eine Drehung in horizontalem Sinne zur Stellung Fig. 4. 
In der 2. P. Fig. 2 zeigt sich als bei 1,2 ein Seiten 
winkel in wahrer Größe; bei 3 erscheint der Neigungswinkel 
einer Kante zur anstoßenden Seite in wahrer Größe. 
In Fig. 5 ist das Netz des Körpers, aus vier regulären 
Dreiecken zusammengesetzt, gezeichnet. 
2.) Das regelmäßige Hexaeder, das regelmäßige 
Sechsflach, der Würfel oder Kubus. 
Die Oberfläche besteht aus sechs kongruenten Quadraten, 
von welchen je drei eine Ecke bilden. Der Körper besitzt 
acht Ecken, zwölf Kanten, zwölf Seitendiagonalen und vier 
Körperdiagonalen. Jeder Kantenwinkel und jeder Seiten 
winkel ist gleich einem rechten Die Summe der Kanten 
winkel an jeder Ecke ist 270°. Der Neigungswinkel einer 
Kante zur anstoßenden Seite ist 90°. 
Der Würfel kann sich als Quadrat, als Rechteck, als 
regelmäßiges und als unregelmäßiges Sechseck projizieren. 
Schneidet man ihn durch eine Ebene, welche zwei gegen 
überliegende Kanten enthält, so ergiebt die Schnittfigur ein 
Rechteck, dessen Hälfte ein rechtwinkliges Dreieck ist, in 
welchem Würfelkante, Seitendiagonale und Körper 
diagonale zusammentreten. Nebenfigur zu Fig. 8. I)ic 
Würfelkante verhält sich zur Seitendiagonale und diese zur 
Körperdiagonale wie 1 : y 2 : y 3. Die beiden spitzen ^ 
dieses Dreiecks sind 35°15’51,8” und 54°44'8,2". 
In Stellung Fig. 6 stellt der Würfel mit einer Seite 
auf der 1. T. auf. Seine 1. P. ist ein Quadrat. Wären zwei 
Seiten zur 2. T. || , so wäre auch die 2. P. ein Quadrat. Da 
dies hier nicht der Fall ist, so erscheint die 2. P. als Recht 
eck mit zwei eingezogenen Linien; den 2. P.P. von zwei 
Kanten. Eine Drehung || zur 2. T. nach Stellung Fig. 7 
ergiebt als 1. P. ein unregelmäßiges Sechseck. 
Stellt man den Würfel mit einer körperlichen Diagonale 
zu einer T. -L, so projiziert er sich auf ihr als regelmäßiges 
Sechseck mit eingezogenen Diagonalen. Dabei kann sich 
die andere P. als unregelmäßiges Sechseck, oder wie im 
vorliegenden Fall Fig. 8, als Rechteck mit einer ein 
gezogenen Mittellinie darstellen. 
Man konstruiert hier die 2. P. mit Hülfe des recht 
winkligen Dreiecks aus Nebenfigur zu Fig. 8. Die 1. P.