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Blatt *21 und 
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Ferner hat man die halbregulären oder archime 
dischen Polyeder. Man versteht darunter Körper mit 
kongruenten körperlichen Ecken, in welchen je eine bestimmte 
Anzahl von regulären Vielecken, aber mit verschiedener Sei 
tenzahl, aneinanderstößt. Es giebt 15 archimedische Körper, 
welche in drei Gruppen eingeteilt werden können, nämlich 
in solche mit drei-, vier- oder fünfseitigen Ecken. 
Zu den halbregulären Körpern lassen sich auch noch 
die Rhomboeder rechnen. Es sind Körper, welche nur 
von Rhomben begrenzt sind, wie das Rhombensechsflach 
und das Rhombenzwölfflach. 
Für praktische Verwendung eines Körpernetzes ist es 
unzulässig, daß sich einzelne Teile eines Netzes übergreifen. 
Sollte dies nicht zu vermeiden sein, so müßte das Netz in 
mehreren Stücken aufgetragen werden. 
Wären mithin die Dimensionen des Körpers andere als 
in vorliegendem Falle, z. B. hätten die Pyramiden größere 
Höhe, so könnte es eintreten, daß bei dem Abwickeln der 
Oberfläche einzelne Dreiecke teilweise Übereinanderfallen. 
Dann müßte also, wenn man beabsichtigt, das Netz zum 
Ausschneiden behufs Anfertigung eines Körpermodells zu 
verwenden, es in mehreren getrennten Stücken gezeichnet 
werden, damit kein Übergreifen der Dreiecke stattfindet. 
Blatt 21. 
Stern-Vierundzwanzigflach. 
Alle Polyeder können in zwei Hauptgruppen eingeteilt 
werden: 
1. ) in konvexe, einfache oder einseitige Polyeder und 
2. ) in konkave, sternförmige oder zweiseitige 
Polyeder. 
Zu der ersten Gruppe gehören alle diejenigen Polyeder, 
deren Flächenwinkel nur konvexe (ausspringende) Winkel 
sind. Wird eine Seitenfläche eines solchen Polyeders er 
weitert, so schneidet sie den Körper nicht; der Körper liegt 
stets auf einer Seite dieser erweiterten Fläche, weshalb solche 
Körper als einseitige Polyeder bezeichnet werden. Hierzu 
sind die vorerwähnten platonischen, die archimedischen Körper 
und die Rhomboeder zu rechnen. 
In die zweite Gruppe gehören alle jene Polyeder, 
deren Flächenwinkel konkave (einspringende) Winkel sind. 
Wird eine Seitenfläche eines solchen Polyeders erweitert, so 
durchschneidet dieselbe den Körper, mithin liegt auf jeder 
Seite dieser Schnittebene ein Teil des Körpers. Aus diesem 
Grunde führen diese Körper auch den Namen zweiseitige 
Polyeder. Der besonderen Form wegen werden sie auch 
sternförmige Körper genannt. Hierzu sind die poinsotsehen 
Polyeder zu rechnen. 
Zu den konkaven Polyedern (aber nicht zu den regulären) 
gehört der auf vorliegendem Blatte dargestellte Sternvier 
undzwanzigflächner. Seinen Kern bildet ein Würfel, auf 
dessen G Seiten 6 regelmäßige und untereinander kongruente 
vierseitige Pyramiden aufgesetzt sind. Der Körper besitzt 
6 ausspringende und 8 einspringende Ecken, 36 Kanten und 
24 Seiten, welche kongruente gleichschenklige Dreiecke sind. 
In Fig. 1 nimmt er eine einfache Stellung zu den 
Tafeln ein, so daß seine beiden P.P., von den Bezeichnungen 
abgesehen, ganz gleiche Bilder ergeben. 
Zur Stellung Fig. 2 gelangt man durch eine Drehung 
zur 2. T.; von dieser durch eine Drehung || zur 1. T. 
zur Stellung Fig. 3. 
Die Stellung Fig. 4 ist aus der Stellung Fig. 3 durch 
eine Drehung || zur 2. T. hervorgegangen. Da die Fig. 4 
auf einer neuen Zeile gezeichnet wird, mußte zum Übertragen 
der Abstände der 1. P.P. von der A. ein Teiler verwendet 
werden. Zur Stellung Fig. 5 gelangt man, von Stellung 
Fig. 4 ausgehend, durch eine Drehung || zur 1. T. 
Fig. 6 ist das Netz des Körpers. Um dasselbe zeichnen 
zu können, ist die Länge einer Kante und zwar der Kante 
Jf durch Paralleldrehen zur 2. T. bestimmt worden. 
Blatt 22. 
Durchdringung gerader Linien durch die Oberflächen 
von Körpern. 
Das auf vorliegendem Blatte behandelte Thema ist von 
hervorragender Bedeutung, da das wichtige Kapitel der Körper 
durchdringungen (und das der Schattenkonstruktionen) auf 
ihm beruht. Wir werden sehen, daß bei der Konstruktion 
von Körperdurchdringungen die Aufgabe: die Schnittpunkte 
von geraden Linien — Körperkanten oder Mantel 
linien — mit der Oberfläche eines anderen Körpers 
aufzusuchen, vielmals zu lösen ist. 
Es werden folgende Fälle betrachtet: 
1.) Gegeben ist in Fig. 1 ein fünfseitiges schiefes 
Prisma abcclefghik und eine gerade Linie (durch zwei ihrer 
Punkte) mn; es sollen die Punkte x und y bestimmt werden, 
in welchen die Gerade die Prismenoberfläche durchdringt. 
Zur Lösung der Aufgabe giebt es zwei Wege: 
Legt man durch die schneidende Gerade irgend eine 
Ebene, und schneidet mit dieser das Prisma, so entsteht eine 
ebene Schnittfigur, und es ist einzusehen, daß die beiden 
Punkte x und y auf dem Umfang dieses Polygones liegen 
müssen. Es sind jene Punkte, in welchen die schneidende 
Gerade den Umfang des mit ihr in derselben Ebene liegenden 
Polygones trifft. Da es einerlei ist, welche Lage die schnei 
dende Ebene im übrigen hat, so ist es für die bequeme 
Ausführung der Konstruktion vorteilhaft, sie zu einer T. 
senkrecht zu stellen, da die eine P. des Polygons dann als 
Strecke erscheint und deshalb leicht zu zeichnen ist. 
Wir haben hier eine Lotebene durch die Gerade mn 
-L zur 1. T. gewählt und sehen, daß sie die fünf Seitenkanten 
des Prismas in den Punkten I bis V schneidet. Die 1. P. 
der Schnittfigur ist die Strecke II — IV. Durch Hinauf loten 
der 1. P.P. der Punkte I bis V auf die 2. P.P. der Pris 
menkanten erhalten wir die 2. P.P. dieser Schnittpunkte 
und durch deren entsprechende Verbindung die 2. P. der 
Schnittfigur I, II, III, IV, V. Wo die 2. P. von mn den 
Umfang der Schnittfigur schneidet, sind die gleichnamigen 
P.P. der gesuchten Punkte x und y; ihre 1. P.P. sind _L 
zur A. unter ihnen und auf m l n l . 
Diese Konstruktion führt stets zum Ziele, hat aber den 
Nachteil, daß, um zwei Punkte zu erhalten, ein Polygon mit 
vielen Ecken zu bestimmen ist, wenn das Prisma viele Seiten 
besitzen sollte. Vorstehende Erwägung führt dazu, zuweilen an 
statt einer Lotebene eine Ebene 11 zu den Prismenseitenkanten