Blatt £53. 
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des Schnittkreises. Wo dessen Umfang schneidet, 
sind £3 und y. d , von welchen rückwärtsgehend man auf 
m x n t leicht die l.P.P. x t und y x und auf m 2 n 2 die 2. P.P. 
x 2 und y 2 bestimmen kann. 
Gegeben ist endlich in Fig. 6 als Beispiel eines Um 
drehungskörpers ein Rotationsellipsoid um die kleine 
Achse, sowie eine Gerade A; gesucht sind die Durchdringungs 
punkte x und y. 
Wir überziehen die Oberfläche des Ellipsoides mit einem 
System von Parallelkreisen (in 10 mm Abstand), welche 
durch Schneiden von Ebenen, auf der Umdrehungsachse J_ 
stehend, mit der Körperoberfläche erhalten werden. Diese 
Parallelkreise zeigen sich von vornen gesehen als Strecken, 
von oben als konzentrische Kreise. 
Eine durch A auf die 1. T. gestellte L.E. schneidet alle 
Parallelkreise, und es sind die 2. P.P. der Schnittpunkte 
durch Hinaufloten leicht zu bestimmen. Ihre Verbindung 
ergiebt die 2. P. der Schnittellipse. Wo Ä 2 durch deren 
Umfang geht, sind x 2 und y 2 ; J_ darunter auf A x sind x 1 und y v 
Allgemein zu bemerken ist, daß die P. der Geraden an 
der entsprechenden P. der konstruierten Schnittfigur vorüber 
gehen kann, ohne sie zu treffen. Es ist dies ein Zeichen 
dafür, daß die Gerade den Körper überhaupt nicht schneidet, 
sondern an ihm vorübergeht, sich also außerhalb des Körpers 
befindet. Oder die gerade Linie ist eine Strecke, deren P. 
innerhalb des Umfanges der entsprechenden P. der bestimmten 
Schnittfigur liegt; dann ergeben sich gleichfalls keine Schnitt 
punkte, weil die Strecke sich vollständig im Inneren des 
Körpers befindet. Auch kann, wenn eine Strecke oder ein 
Strahl sich schneiden, nur ein Schnittpunkt zum Vorschein 
kommen. Dies ist ein Anzeichen dafür, daß Strecke oder 
Strahl im Körper beginnen und im Schnittpunkte heraus 
kommen, oder die Strecke dringt in den Körper ein und 
endigt in demselben. 
Daß die Gerade die Schnittfigur in mehr als zwei 
Punkten trifft, kann sich bei einem Körper mit einspringen 
den Winkeln ereignen. 
Die Gerade kann auch die Schnittfigur nur in einem 
Punkte ihres Umfanges treffen. Dies zeigt, daß die Gerade 
die Oberfläche des Körpers berührt. 
Blatt 22 kann auch dazu dienen, die Richtigkeit fol 
gender Behauptungen festzustellen: 
Liegt ein Punkt auf dem Mantel eines Prismas oder 
eines Cylinders, so liegt er stets auf einer Mantellinie des 
Prismas oder des Cylinders. Diese Thatsache kann benutzt 
werden, um die fehlende Projektion eines Punktes zu er 
halten, wenn eine Projektion desselben gegeben ist. Soll 
sich z. B. in Fig. 1 ein Punkt y auf der Mantelfläche des 
Prismas befinden, und wäre seine 1. P. gegeben, so bekommt 
man die zugehörige 2. P., wenn man durchs die-1. P. r l t 1 
der zugehörigen Mantellinie rt zieht und deren 2. P. r 2 t 2 
bestimmt. y 2 liegt dann _L zur A. über y l und in r 2 t 2 . 
Zu bemerken ist, daß man y sowohl als oben auf der 
Seite cdhi als auch unten auf der Seite deJci liegend auf-' 
fassen kann, wenn nur y x gegeben ist. Es gehören demnach 
auch zwei Mantellinien, zwei 2. P.P. von y und zwei Punkte 
y zu dem gegebenen y x . 
Liegt ein Punkt auf der Mantelfläche einer Pyramide \ 
oder eines Kegels, so liegt er auf einer Mantellinie der Py 
ramide oder des Kegels. 
So findet man in Fig. 3 zu dem gegebenen y x ein zu 
gehöriges y 2 mit Hülfe der Mantellinie qs. Alle übrigen 
Bemerkungen bezüglich zwei sich ergebender Punkte y gelten 
hier ebenso, wie sie vorher bei Prisma und Cylinder ausge 
sprochen wurden. 
Liegt ein Punkt auf einer Kugel, so liegt er immer auf 
einem entsprechenden Parallelkreis, einem entsprechenden 
Meridian oder dem zugehörigen größten Kreis der Kugel. 
So findet man in Fig. 5 zu einem gegebenen y x das zu 
gehörige y 2) wenn man die 1. P. eines entsprechenden Pa 
rallelkreises, entsprechenden Meridians oder zugehörigen 
größten Kreises annimmt und deren zugehörige 2. P.P. be 
stimmt. Auch hier wird man immer y 2 und demnach auch 
zwei Punkte y finden, die der Anforderung genügen. 
Bei einem Umdrehungskörper kann man zu gleichem 
Zwecke durch den betreffenden Punkt seiner Oberfläche einen 
Parallelkreis oder einen Meridian legen. 
So findet man in Fig. 6 zu einem gegebenen y x das 
zugehörige y 2 , wenn man durch y x die 1. P. eines hierher 
gehörenden (vertikalen) Parallelkreises zieht und dessen 2. P. 
bestimmt. Auf dieser liegt y 2 . Da aber die Senkrechte von 
y x zur A. zweimal diese P. schneidet, so giebt es auch zwei 
y 2 und damit zwei Punkte y, die der Anforderung entsprechen. 
Man hätte auch hier die 1. P. des horizontalen Parallel 
kreises durch y x verwenden können und würde zwei zuge 
hörige 2. P.P. zu dessen 1. P. erhalten haben. Auf jeder der 
beiden 2. P.P. des Parallelkreises wäre ein y 2 möglich, wes 
halb es zu dem gegebenen y x auch hier zwei Punkte y giebt. 
Es ist einleuchtend, daß man in allen erwähnten Fällen 
auch L.E.L.E. verwenden könnte. Man legt durch die ge 
gebene P. des Punktes die betreffende P. (eine Gerade) irgend 
einer L.E. zu dieser T. und bestimmt die P. des Schnittes der 
L.E. mit der Körperoberfläche in der anderen T. Eine Senk 
rechte zur A. von der gegebenen P. des Punktes aus schneidet 
dann den Umfang der P. der Schnittfigur in zwei Punkten, 
von welchen jeder die gestellten Anforderungen erfüllt, wes 
halb immer zu einer gegebenen P. eines Punktes sich zwei 
zugehörige Punkte, die auf der Körperoberfläche liegen, er 
geben werden. 
Klar ist, daß, wenn ein Punkt auf der Oberfläche eines 
Körpers liegt, sich stets seine 1. P. innerhalb der 1. Bild 
kontur und seine 2.P. sich stets innerhalb seiner 2. Bildkontur 
befinden muß. 
Blatt 23. 
Schneiden von Körperoberflächen durch ebene 
Figuren. 
Die nächste Anwendung von dem zum vorhergehenden 
Blatte Besprochenen wollen wir nun bei dem Schneiden von 
Körperoberflächen durch allseitig begrenzte Ebenen, d. s. 
ebene Figuren, machen. 
Werden überhaupt Oberflächen von Körpern durch Ebe 
nen geschnitten, so ergeben sich je nach der Gestalt dieser 
Oberflächen oder der besonderen Lage der Ebenen gebrochene, 
krumme oder gemischte Linienzüge. Sind die Ebenen 
dabei begrenzt, so können möglicherweise nur Teile dieser 
Linienzüge Gültigkeit besitzen.