Körperdurchdringun gen .
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mantel und ist in 1. P. vollständig sichtbar, in 2. P. ist er
teilweise verdeckt. Von dem Viereck 1,2,3,4 ist ein Teil der
Fläche, nämlich das Sechseck I, II, III, IV, V, VI im Inneren
der Pyramide befindlich, also unsichtbar; das Übrige ist in
1. P. vollständig sichtbar, in 2. P. teilweise verdeckt. Auch
Teile der Pyramide werden durch das Viereck verdeckt.
Schließlich ergeben sich die P. P. wie in Fig. 2 gezeichnet.
In Fig. 3 sind gegeben ein gerader Kreiseylinder mit
der Achse 1 — 2 und ein Parallelogramm ah ccl; gesucht ist
die Schnittlinie des Parallelogramms mit der Cylindermantel-
fläehe.
Von dem Parallelogramm sind nur die drei Ecken a,
h und c mit ihren P. P. gegeben. Die beiden P. P. des vierten
Eckes d werden bestimmt, wenn c x d x || zu a x h x und ci x d x
zu h x c x , sowie a 2 d 2 || zu h 2 c 2 und c 2 d 2 || zu a 2 h 2 ge
zogen werden. Es kommen von selbst d x und d 2 _L zur A.
übereinander zu liegen, und das Viereck wird eben, da durch
zwei Paare || Geraden, die sich untereinander schneiden,
keine andere Fläche als eine Ebene möglich ist.
Man bemerkt, daß die Konstruktion des vierten Eckes
eines Parallelogramms aus drei gegebenen Ecken wesentlich
einfacher ist als bei einem beliebigen Viereck.
Um den Linienzug der Durchdringung (Teil eines Ellipsen
umfanges) zu erhalten, legt man in gleichen Abständen (von
5 mm) Ebenen || zur 2. T., welche den Cylinder nach Recht
ecken, das Parallelogramm nach Geraden || zu a VI schnei
den. Wo diese Geraden den Umfang des zugehörigen Recht
ecks treffen, erhält man Schnittpunkte. So wird Punkt 111
gefunden durch Schneiden der Geraden a VI mit der Recht
ecksseite p q. Die Punkte I und V erhält man ohne weiteres
aus der 1. P. II ist der Punkt am meisten nach links;
I V der Punkt am meisten nach vornen zu gelegen. Durch
die Verbindung aller so bestimmten Punkte erhält man den
Linienzug I, II, III, IV, V.
Da der Punkt II der äußerste Punkt nach links ist,
so muß in der 2. P. in ihm ein Wechsel der Sichtbarkeit
und Unsichtbarkeit der Schnittkurve eintreten.
Fig. 4. Gegeben ist ein gerader Kreiskegel mit der
Achse ms und ein Dreieck cihc; gesucht ist die Schnittkurve.
Legen wir ein System von sechzehn Erzeugenden auf
die Mantelfläche des Kegels und suchen die Schnittpunkte
derselben mit der Dreiecksfläche, indem wir L. E. L. E. zur
1. T. immer durch je zwei gegenüberliegende Mantellinien
aufstellen und die Schnittlinien dieser L. E. L. E. mit der
Dreiecksebene bestimmen, so sind stets da, wo in der 2. P.
eine solche Schnittlinie durch die 2. P. P. der zugehörigen
Mantellinien geht, zwei Schnittpunkte. So findet man z. B.
die Punkte I und IX, indem man eine L.E. zur 1. T. durch
die Erzeugenden 1 — s und .9— s legt und ihre Schnittlinie pq
mit der Dreiecksebene bestimmt. Wo p 2 q 2 die Linien l 2 s 2
und .9 2 q 2 schneidet, sind die 2. P.P. der Punkte I und IX;
-L zur A. darunter auf l x s x und 9 x s x sind die 1. P.P. von
I und IX.
Da die beiden Mantellinien 5s und 13s _L zur A. ge
richtet sind, so können wir die Schnittpunkte I und XIII
nur indirekt bestimmen, indem wir die L.E. 5s 13 mitsamt
den Erzeugenden 5s und 13 s sowie ihre Schnittlinie mit
abc, nämlich rt, || zur 2. T. drehen, so daß die 2. P. von
rt nach r 2 't 2 zu liegen kommt; dann decken sich die Er
zeugenden 5s und 13s mit ls und 9s, und man erhält die
Schnittpunkte V und XIII ', welche dann wieder zurück
in ihre richtige Lage nach V und XIII gedreht werden
müssen.
Verbindet man alle so erhaltenen Punkte, so bekommt
man die beiden P.P. des Umfanges der Schnittellipse
1 — XIII — IX— V, welcher für unsere Zwecke Wert von IV
über XIII nach u besitzt (u ist der Schnittpunkt des El
lipsenumfanges mit dem Dreiecksumfang in dessen Kante ah).
Fig. 5. Gegeben sind eine Kugel mit dem Mittelpunkt
m und eine Ellipse ah cd durch ihre P. P.; gesucht ist die
Schnittkurve 1p II. Die Ellipse steht mit ihrer Ebene _L
zur 2. T. und projiziert sich auf der 1. T. als Kreis.
Schneidet man die Kugel mit der ausgedehnten Ellipsen
ebene, so entsteht ein Kreis pqrs und zwar hier ein größter
Kreis, weil die Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel
geht. Dieser Kreis projiziert sich auf der 1. T. als Ellipse
Pi 9i r i 5 i> die aus großer und kleiner Achse {q x s x und p x r x )
und den Brennpunkten konstruiert werden kann. Der Bogen
IpII ist der Oberfläche der Kugel und der schneidenden
Ellipse gemeinsam.
Fig. 6. Gegeben ist ein Umdrehungskörper und zwar
ein Ellipsoid, entstanden durch Umdrehung einer Ellipse um
die lange Achse m n, sowie ein Antiparallelogramm ah cd
mit einer Ebene |j zur A.; gesucht ist die Schnittkurve
I-XI- X11--XXII.
Eine horizontale Ebene wird das Antiparallelogramm
nach einer Strecke || zur A. und das Ellipsoid nach einem
Kreise schneiden; wo diese Strecke den Kreisumfang trifft,
sind zwei Punkte der gesuchten Schnittkurve.
Wir nehmen solche horizontale Hülfsebenen in gleichen
Abständen (von je 5 mm) an und erhalten alle Punkte von
I bis XXII. Die Äquatorebene schneidet das Antipa
rallelogramm nach der Strecke pq und das Ellipsoid nach
seinem Äquator. In 1. P. ergeben sich die Schnittpunkte
VII und XVI, von welchen die 2. P.P. leicht auf p 2 q 2 zu
finden sind.
Da die Schnittpunkte V und XVIII der Bildkontur
des Ellipsoids in 2. P. angehören, so muß für die 2. P. der
Schnittkurve hier ein Wechsel der Sichtbarkeit und Unsicht
barkeit eintreten. Für die 1. P. sind die Wechselpunkte
die Schnittpunkte VII und XVI der Kurve mit dem Äquator.
Körperdurchdringungen.
Befinden sich zwei Körper zugleich an einer und der
selben Stelle im Raume, so daß sie nicht ungehindert von
einander bestehen können, sich vielmehr ganz oder teilweise
den Platz streitig machen, so muß es zu einer Durchdringung
beider Körper kommen.
Jenes Stück des Raumes, welches ihre Oberflächen ge
meinsam umfassen, heißt der Kern der Durchdringung; die
über den Kern vortretenden Teile beider Körper heißen ihre
Außenstücke.
Es können sich auch mehr als zwei Körper durch
dringen, und es kann dadurch ein Stück des Raumes vor
handen sein, das mehr als zwei Körpern gemeinsam ist.
Wenn zwei Körper sich durchdringen, so können im
allgemeinen drei Fälle eintreten:
