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Traité des Orbites des Planètes.
44. Après avoir établi les résultats du numéro précédent, il sera
très facile d’opérer la conversion y énoncée. En effet, si l’on désigne par
p et q deux nombres réels, positifs ou négatifs, il s’agit de trouver le
développement, suivant les multiples des arguments Y et (v — co), de
la fonction
gPl(V'+U') + qi(v'—w')
ou réciproquement, celui de la fonction
gPi(V+U)+ ?!'(»— co)
suivant les multiples de Y' et de ( 'y' — co'). Ces deux conversions étant
tout-à-fait semblables, nous ne nous occuperons que de la seconde.
Quant au second facteur de l’expression dont il s’agit, on parvient
immédiatement à son développement en vertu de l’équation (19); celui du
premier facteur, qu’on peut mettre sous la forme
çPi{v' — ta —H) gPK v —(o'-fy’H')
s’obtient en utilisant l’équation (25'). On conclut ainsi, en admettant la
formule
>pi(V + U)+g/(»—co) _ JJ' g?i(V' + U') _j_ JJ' ^ gtç+lMV'+U') _|_
+ K«- i^- 1)Î{r + ü,) + . . . ,
l’expression suivante des fonctions E' v ^ k , k étant un entier positif ou négatif:
( 3 2 ) Pp,q + k — e MV ~ W) [l%ll'q A + P'k-\P'q^\ + E'k-i ^q,q + 9 + ■ * *
+ P'k +1 Pq,q —1 + Eib+iIlq,q —9 + • • •)•
Ensuite, si l’on introduit, dans la formule indiquée, les expressions
des fonctions E' et //' selon les équations (26') et (21'), et que l’on suppose:
